Vectores Aleatorios
Páginas: 25 (6072 palabras)
Publicado: 3 de octubre de 2011
VECTORES ALEATORIOS
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Introducci´n o
En la vida real es muy frecuente enfrentarnos a problemas en los que nos interesa analizar varias caracter´ ısticas simult´neamente, como por ejemplo la velocidad a de transmisi´n de un mensaje y la proporci´n de errores. De esta forma seremos o o capaces de estudiar no solo el comportamiento de cada variable por separado, sino las relaciones quepudieran existir entre ellas. En consecuencia el objetivo principal de este tema es elaborar un modelo matem´tico que permita analizar a experimentos aleatorios en los que cada resultado experimental A tiene asociados p valores num´ricos. Estos modelos ser´n la base para la construcci´n de los e a o modelos inferenciales necesarios en este contexto para extrapolar los resultados de una muestra a lapoblaci´n. o
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Vectores aleatorios
El concepto de vector aleatorio nace como una generalizaci´n natural de la noci´n o o de variable aleatoria, al considerar simult´neamente el comportamiento aleatorio a de varias caracter´ ısticas asociadas a un experimento. Definici´n 2.1 (Vector aleatorio.) Dado un un espacio probabil´ o ıstico (E, A, P ) y el espacio probabilizable (Rp , β) con βσ-´lgebra de Borel en Rp , se dice que una a aplicaci´n x = (x1 . . . , xp )t o x : E −→ Rp es un vector aleatorio si es medible, es decir x−1 (B) ∈ A ∀B ∈ β, por tanto cada una de sus componentes xi , i = 1, . . . p es una variable aleatoria. Veamos algunos ejemplos sencillos de vectores aleatorios. El vector (x1 , x2 ) representa la temperatura m´xima que puede alcanzar una a resistencia y el tiempo quetarda en alcanzarla. (En el caso bidimensional es m´s a frecuente utilizar la notaci´n (X,Y).) o 1
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2 VECTORES ALEATORIOS
Los componentes del vector (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )t representan, respectivamente, la edad, peso, estatura, sexo, colesterol y triglic´ridos de una persona. e Definici´n 2.2 (Probabilidad inducida.) Dado un vector aleatorio x definio do sobre (E, A, P ), sedenomina probabilidad inducida por el vector a la aplicaci´n o p definida por: Px : β −→ R Px (B) = P [x−1 (B)] ∀B ∈ β
(Rp , β, Px ) es el espacio probabil´ ıstico inducido por x. La distribuci´n de probabilidad inducida por un vector aleatorio se puede o caracterizar mediante la funci´n de distribuci´n. o o Definici´n 2.3 (Funci´n de distribuci´n.) Dado el vector aleatorio x se deo o o nomina funci´nde distribuci´n asociada, a la funci´n F : Rp −→ R definida o o o por: F (a) = P [x1 ≤ a1 , . . . , xp ≤ ap ] Las propiedades m´s importantes de las funciones de distribuci´n son: a o 1. F (−∞, a2 , . . . , ap ) = · · · = F (−∞, · · · − ∞, ai , −∞, · · · − ∞) = 0. 2. F (∞, . . . , ∞) = 1. 3. F es continua por la derecha respecto de cada variable. 4. F es no decreciente respecto a cada variable. 5.En el caso bidimensional dados hi > 0 se verifica que P ((a1 < x1 ≤ a1 + h1 ) (a2 < x2 ≤ a2 + h2 )) =
= F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ) ≥ 0 Mientras que en el caso p-dimensional se tendr´ la expresi´n: ıa o
p
F (a1 +h1 , . . . , ap +hp )−
i=1 p
F (a1 +h1 , . . . , ai−1 +hi−1 , ai , ai+1 +hi+1 , . . . , ap +hp )
+
i,j=1,i=j
F (a1 +h1 ,. . . , ai−1 +hi−1 , ai , ai+1 +hi+1 , . . . , aj−1 +hj−1 , aj , aj+1 +hj+1 , . . . , ap +hp ) + . . . , +(−1)p F (a1 , . . . , ap ) ≥ 0
Los vectores aleatorios se pueden clasificar teniendo en cuenta el tipo de las variables aleatorias que lo componen.
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Vectores aleatorios discretos
La idea intuitiva asociada a un vector aleatorio discreto es que cada una de sus componentessean v. a. discretas. Definici´n 3.1 (Vector aleatorio discreto) Sea x un vector aleatorio definio do sobre (E, A, P ) y S = {a ∈ Rp /P (a) > 0}, se dice que x es discreto si se cumple que: 1. S = ∅ 2. El cardinal de S es a lo sumo infinito numerable. 3.
a∈S
P (a) = 1.
a∈B∩S
4. P [x ∈ B] =
P (a).
Al conjunto S se le llama conjunto soporte del vector x. En este caso la funci´n de...
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Introducci´n o
En la vida real es muy frecuente enfrentarnos a problemas en los que nos interesa analizar varias caracter´ ısticas simult´neamente, como por ejemplo la velocidad a de transmisi´n de un mensaje y la proporci´n de errores. De esta forma seremos o o capaces de estudiar no solo el comportamiento de cada variable por separado, sino las relaciones quepudieran existir entre ellas. En consecuencia el objetivo principal de este tema es elaborar un modelo matem´tico que permita analizar a experimentos aleatorios en los que cada resultado experimental A tiene asociados p valores num´ricos. Estos modelos ser´n la base para la construcci´n de los e a o modelos inferenciales necesarios en este contexto para extrapolar los resultados de una muestra a lapoblaci´n. o
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Vectores aleatorios
El concepto de vector aleatorio nace como una generalizaci´n natural de la noci´n o o de variable aleatoria, al considerar simult´neamente el comportamiento aleatorio a de varias caracter´ ısticas asociadas a un experimento. Definici´n 2.1 (Vector aleatorio.) Dado un un espacio probabil´ o ıstico (E, A, P ) y el espacio probabilizable (Rp , β) con βσ-´lgebra de Borel en Rp , se dice que una a aplicaci´n x = (x1 . . . , xp )t o x : E −→ Rp es un vector aleatorio si es medible, es decir x−1 (B) ∈ A ∀B ∈ β, por tanto cada una de sus componentes xi , i = 1, . . . p es una variable aleatoria. Veamos algunos ejemplos sencillos de vectores aleatorios. El vector (x1 , x2 ) representa la temperatura m´xima que puede alcanzar una a resistencia y el tiempo quetarda en alcanzarla. (En el caso bidimensional es m´s a frecuente utilizar la notaci´n (X,Y).) o 1
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2 VECTORES ALEATORIOS
Los componentes del vector (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )t representan, respectivamente, la edad, peso, estatura, sexo, colesterol y triglic´ridos de una persona. e Definici´n 2.2 (Probabilidad inducida.) Dado un vector aleatorio x definio do sobre (E, A, P ), sedenomina probabilidad inducida por el vector a la aplicaci´n o p definida por: Px : β −→ R Px (B) = P [x−1 (B)] ∀B ∈ β
(Rp , β, Px ) es el espacio probabil´ ıstico inducido por x. La distribuci´n de probabilidad inducida por un vector aleatorio se puede o caracterizar mediante la funci´n de distribuci´n. o o Definici´n 2.3 (Funci´n de distribuci´n.) Dado el vector aleatorio x se deo o o nomina funci´nde distribuci´n asociada, a la funci´n F : Rp −→ R definida o o o por: F (a) = P [x1 ≤ a1 , . . . , xp ≤ ap ] Las propiedades m´s importantes de las funciones de distribuci´n son: a o 1. F (−∞, a2 , . . . , ap ) = · · · = F (−∞, · · · − ∞, ai , −∞, · · · − ∞) = 0. 2. F (∞, . . . , ∞) = 1. 3. F es continua por la derecha respecto de cada variable. 4. F es no decreciente respecto a cada variable. 5.En el caso bidimensional dados hi > 0 se verifica que P ((a1 < x1 ≤ a1 + h1 ) (a2 < x2 ≤ a2 + h2 )) =
= F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ) ≥ 0 Mientras que en el caso p-dimensional se tendr´ la expresi´n: ıa o
p
F (a1 +h1 , . . . , ap +hp )−
i=1 p
F (a1 +h1 , . . . , ai−1 +hi−1 , ai , ai+1 +hi+1 , . . . , ap +hp )
+
i,j=1,i=j
F (a1 +h1 ,. . . , ai−1 +hi−1 , ai , ai+1 +hi+1 , . . . , aj−1 +hj−1 , aj , aj+1 +hj+1 , . . . , ap +hp ) + . . . , +(−1)p F (a1 , . . . , ap ) ≥ 0
Los vectores aleatorios se pueden clasificar teniendo en cuenta el tipo de las variables aleatorias que lo componen.
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Vectores aleatorios discretos
La idea intuitiva asociada a un vector aleatorio discreto es que cada una de sus componentessean v. a. discretas. Definici´n 3.1 (Vector aleatorio discreto) Sea x un vector aleatorio definio do sobre (E, A, P ) y S = {a ∈ Rp /P (a) > 0}, se dice que x es discreto si se cumple que: 1. S = ∅ 2. El cardinal de S es a lo sumo infinito numerable. 3.
a∈S
P (a) = 1.
a∈B∩S
4. P [x ∈ B] =
P (a).
Al conjunto S se le llama conjunto soporte del vector x. En este caso la funci´n de...
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