EJERCICIOS DE VECTORES ALEATORIOS

Ejercicios de Vectores Aleatorios
Bernardo D’Auria
Departamento de Estadística
Universidad Carlos III de Madrid

G RUPO M AGISTRAL
G RADO

EN I NGENIERÍA DE

S ISTEMAS AUDIOVISUALES

Otros

Ejercicios de Vectores Aleatorios

Ejercicio

M2

Calcular la función de densidad conjunta y las marginales
correspondientes a la siguiente función de distribución conjunta,
F(x, y) = (1 − e−αx )(1 − e−βy ),con x ≥ 0, y ≥ 0, α > 0 y β > 0.

Bernardo D’Auria (UC3M - G.I. de Sistemas Audiovisuales)

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Ejercicio

M2

Calcular la función de densidad conjunta y las marginales
correspondientes a la siguiente función de distribución conjunta,
F(x, y) = (1 − e−αx )(1 − e−βy ),
con x ≥ 0, y ≥ 0, α > 0 y β > 0.

S OLUCIÓN:
f (x, y) = α β e−α x−β y
fX (x) = α e−α xfY (y) = β e−β y

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Ejercicio

M5

El tiempo total (en horas) que permanece un cliente en un determinado restaurante se
divide en:
Y1 = tiempo de espera hasta que se sirve el primer plato;
Y2 = tiempo desde ese momento hasta que el cliente sale del restaurante (es decir,
tiempo de comer ypagar).
Las variables aleatorias Y1 e Y2 tienen distribución conjunta dada por:
 −(y +y )
e 1 2 , 0 ≤ y1 , y2 ≤ ∞;
f (y1 , y2 ) =
0,
resto.
Calcular:
a) La probabilidad de que el cliente pase más de una hora en el restaurante;
b) Las distribuciones marginales de Y1 e Y2 .
c) La probabilidad de que un cliente tarde en ser servido más de una hora.

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Ejercicio

M5

El tiempo total (en horas) que permanece un cliente en un determinado restaurante se
divide en:
Y1 = tiempo de espera hasta que se sirve el primer plato;
Y2 = tiempo desde ese momento hasta que el cliente sale del restaurante (es decir,
tiempo de comer y pagar).
Las variables aleatorias Y1 e Y2 tienen distribución conjunta dada por: −(y +y )
e 1 2 , 0 ≤ y1 , y2 ≤ ∞;
f (y1 , y2 ) =
0,
resto.
Calcular:
a) La probabilidad de que el cliente pase más de una hora en el restaurante;
b) Las distribuciones marginales de Y1 e Y2 .
c) La probabilidad de que un cliente tarde en ser servido más de una hora.

S OLUCIÓN:
a) Pr(Y1 + Y2 > 1) = 2/e;
b) fY1 (y1 ) = e−y1

y1 ≥ 0

y

fY2 (y2 ) = e−y2

c) Pr(Y1 > 1) = 1/e.

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y2 ≥ 0;

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Ejercicio

M4

Un vector aleatorio (X, Y) está distribuido uniformemente en el cuadrado de vértices
(1, 1), (1, −1), (−1, 1) y (−1, −1), es decir, la función de densidad conjunta es:
 1
, −1 ≤ x, y ≤ 1;
4
f (x, y) =
0, resto.
Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) X 2 + Y 2 < 1;
b) 2X − Y> 0;

c) |X + Y| < 2.

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M4

Un vector aleatorio (X, Y) está distribuido uniformemente en el cuadrado de vértices
(1, 1), (1, −1), (−1, 1) y (−1, −1), es decir, la función de densidad conjunta es:
 1
, −1 ≤ x, y ≤ 1;
4
f (x, y) =
0, resto.
Determinar la probabilidad de lossiguientes sucesos:
a) X 2 + Y 2 < 1;
b) 2X − Y > 0;

c) |X + Y| < 2.

S OLUCIÓN:
a) Pr(X 2 + Y 2 < 1) = 1/4;
b) Pr(2X − Y > 0) = 1/2;
c) Pr(|X + Y| < 2) = 1.

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Ejercicio

M8

La variable aleatoria bivariante (X, Y) está definida en el rectángulo OBCD.
O = (0, 0) B = (1, 0) C = (1, 2) D = (0, 2).
confunción de densidad
a)
b)
c)
d)
e)

f (x, y) = k y2 .
Determinar el valor de k;
Calcular las densidades marginales;
Calcular las densidades condicionadas f (x|y), f (y|x);
¿Son X e Y independientes?
Calcular Pr(Y − 2X < 0).

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M8

La variable aleatoria bivariante (X, Y) está...