Vectores deslizantes

2.- Vectores deslizantes.
§2.1. Momento de un vector respecto a un punto (41); §2.2. Momento de un vector respecto a un eje (42); §2.3. Sistemas de vectores deslizantes (43); §2.4. Invariantes del sistema (44); §2.5. Par de vectores (45); §2.6. Eje central (46); §2.7. Centro de un sistema de vectores paralelos (47); §2.8. Sistemas de vectores equivalentes (49); §2.9. Reducción de sistemas (50);§2.10. Virial de un vector (54); §2.11. Virial de un sistema de vectores (55); §2.12. Plano central (56); §2.13. Punto central (56); Problemas (57)

Hemos visto en la lección anterior como la definición de igualdad (equipolencia) entre vectores nos permite clasificarlos en dos categorías: la de los vectores libres y la de los vectores deslizantes. En la lección anterior hemos establecido lasreglas del Álgebra Vectorial bajo el supuesto de que nos referíamos a los vectores libres. Así, cuando se definía la suma vectorial, no teníamos inconveniente alguno en desplazar los vectores de modo que tuviesen un punto de origen común. Esta operación, obviamente, no la podemos realizar con los vectores deslizantes, a menos que sus rectas de acción concurran en un mismo punto. Así pues, debemosampliar nuestras definiciones de modo que podamos dar cabida en el Álgebra Vectorial a los llamados vectores deslizantes.
§2.1. Momento de un vector respecto a un punto.- Definimos el momento de un vector deslizante F con respecto a un punto O del espacio como el vector OP×F, siendo P un punto cualquiera de la recta de acción del vector F; esto es,

MO

OP × F

[2.1]

Esta definición exigeque el momento de F con respecto al punto O sea independiente de la posición de F sobre su recta de acción. En efecFigura 2.1 to, imaginemos el vector F desplazado a lo largo de su recta de acción, de modo que sea P′ su punto de aplicación (Figura 2.1). La definición [2.1] significa que, llamando M′O al momento de F, aplicado en P′, con respecto al punto O es 41

Física Universitaria

42Lec. 2.- Vectores deslizantes.

MO

OP × F

[2.2]

de modo que restando [2.1] y [2.2] miembro a miembro resulta MO M
O

(OP

OP ) × F

PP × F

0

[2.3]

por ser P′P F. Por lo tanto es MO = M′O. Es obvio que el módulo del momento de un vector F con respecto a un punto O puede expresarse por MO Fb
[2.4]

donde b es la distancia del punto O a la recta de acción del vector. Dichadistancia recibe el nombre de brazo del vector deslizante con respecto al punto O. Por otra parte, de la propiedad geométrica del producto vectorial, por la que representa el área del paralelogramo determinado por los dos vectores, se sigue una propiedad geométrica análoga para el momento de un vector, que queda representado por el doble del área de los triángulos sombreados en la Figura 2.1 y enla Figura 2.2 Figura 2.2 El momento de un vector, aunque es independiente de su punto de aplicación sobre su propia recta de acción, depende del punto con respecto al cuál se toma. Esto es, si en lugar de tomarlo con respecto al punto O lo tomamos con respecto a otro punto O′ (Figura 2.2), en general, será MO′≠MO. En efecto MO′ OP × F (O O OP) × F MO OO × F
[2.5]

de modo que MO′ sólo es iguala MO cuando O′O × F = 0, lo que ocurre cuando se escoge O′ sobre una recta que pasando por O sea paralela a la dirección del vector F.
§2.2. Momento de un vector respecto a un eje.- Consideremos un vector deslizante F y un eje en la dirección del versor e (Figura 2.3). Definimos el momento del vector F con respecto al eje e como la proyección sobre dicho eje del momento del vector con respecto aun punto cualquiera del eje. Esto es

Meje o bien

MO e Meje

(OP × F ) e Mejee

[2.6]

[2.7]

Esta definición sólo tendrá sentido si logramos demostrar que, cualquiera que sea el punto elegido sobre el eje, la proyección sobre el eje del momento del vector con respecto a dicho punto del eje es siempre la misma (invariante). En efecto, considerando otro punto del eje, O′, tenemos...