vectores triple producto escalar y vectorial























Triple producto escalar y vectorial

1) Producto mixto:
También conocido como triple productoescalar es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado un escalar.
Los triples productos aparecen cuando se desea definirmultiplicaciones entre tres vectores. Una expresión de la forma  no tiene mucho sentido porque el resultado del primer producto es un escalar

y no es posible calcular el producto punto entre unnúmero (escalar) y un vector

Ejemplo:
Sean los vectores: u = (4,1,1), v = (2,3,0) y w = (5,0,2). Dadas en cm, Obtener: u• (v×w) Para obtener el resultado del producto mixto, resolvemos primero elproducto vectorial y luego el producto escalar, entonces:



Fórmula del producto mixto entre vectores en función de sus componentes
Una manera para calcular el producto mixto: u• (v×w) entre tresvectores de R3 es tal como se muestra en el ejemplo previo: efectuando el producto vectorial y luego el producto escalar. Sin embargo existe otro procedimiento equivalente al anterior y que secorresponde con calcular el determinante de orden tres que se arma a partir de las componentes de los vectores, como se muestra a continuación:
Demostración:
Sean los vectores:
Entonces:Ejemplo:
Sean los vectores: u = (0,1;1), v = (0,3;0) y w = (5,0;2). Calculamos:



Propiedades
Sean u, v y w vectores de R3. Entonces:
1. El producto mixto de los vectores u, v y w es cíclico. Esdecir varía de signo según varía el orden de vectores
2. Si los vectores u, v y w considerados con un origen común son coplanares entonces el
Producto mixto es nulo.
3. Consecuencia propiedad(2):

• Los vectores u, v y w son linealmente dependientes si y sólo si el producto
Mixto es nulo.
• Los vectores u, v y w son linealmente independientes si y sólo si el producto
Mixto no...