Producto vectorial y escalar

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|Producto Escalar |
|El producto interior o producto escalar de dos vectores a y b en el espacio tridimensional se escribe a · b y se define |
|como |
|a · b |= |a| |b| cos γ |cuando a ≠ 0, b ≠ 0 |
|a · b  |= 0 |cuando a = 0 o b = 0 |
|  |
|aquí γ (0 ≤ γ ≤ Π ) es el ángulo entre a y b(calculado cuando los vectores tienen sus puntos iniciales coincidentes). |
|[pic] |
|  |
|El valor del producto interior (escalar) es un escalar (un número real) yesto motiva el término producto escalar. El |
|coseno del ángulo γ puede ser positivo, cero o negativo, lo mismo se aplica al producto interior. |
|Observamos que el coseno es cero cuando γ = 0.5 Π = 90°. |
| |
|Teorema de Ortogonalidad. Dos vectores diferentes de cero son ortogonales sí, y sólo si, su producto interior (escalar) |
|es cero. |
|  |
|Setienen las siguientes propiedades: |
|  |
||a|  |= [pic] |a ≥ 0 |
|cos γ   |=[pic] | |
|(q1a + q2b) . c  |= q1a . c + q2b . c |Linealidad |
|a . b  |= b . a  |Simetría |
|a . a  |≥ 0|Ser positivo definido |
|a . a  |= 0 |sólo si a = 0 |
|(a + b). c  |= a . c + b . c |Distributividad |
||a . b|  |≤ |a| |b| |Desigualdad deSchwarz |
||a + b|  |≤ |a| + |b| |Desigualdad del Triángulo |
||a + b|2 + |a - b|2  |= 2(|a|2 + |b|2) |Igualdad del Paralelogramo |

|Si los vectores a y b se representan en términos de sus componentes:|
|a = a1i + a2j + a3k |b = b1i + b2j + b3k |
|su producto interior está dado por la siguiente fórmula |
|a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3 |
| ...
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