Vectores Velocidad Y Aceleracion Instantaneas

OBJETIVOS

* Determinar el vector velocidad instantánea (Vx(t), Vy(t)) de un cuerpo en movimiento bidimensional a partir de la información posición vs tiempo.
* Determinar el vector aceleración instantánea (ax(t), ay(t)) a partir de la información velocidad vs tiempo.
* Comprender el concepto matemático de la derivada usando como ejemplos los conceptos físicos de velocidad yaceleración instantánea.
* Calcular la constante de rigidez de un resorte común mediante mediciones sencillas.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Vector Posición: r(t)
Es el segmento orientado de un punto de referencia (origen de coordenadas) al punto en que se encuentra la partícula en el instante “t”. Si se define un sistema de coordenadas cartesianas, este segmento puede ser representado por el parordenado:
r(t)=(xt.yt)

Vector Desplazamiento:
Entre los instantes t1 y t2, ∆r, es el segmento orientado que va de la posición de la partícula en el instante t1 a su posición en el instante t2, también:
∆r=r2-r1=(x2-x1,y2-y1)

VELOCIDAD:

El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. Consideremos que el eje OX de la figura 1 coincide con la trayectoria. Laposición del objeto está definida por su desplazamiento medido desde un punto arbitrario O, u origen. En principio, el desplazamiento puede relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional x= f(t). Obviamente, x puede ser positiva o negativa. Supongamos que en el tiempo t el objeto se encuentra en la posición A, siendo OA = x. Más tarde en el tiempo t’, se encuentra en B, siendo OB = x’. Lavelocidad promedio (media) entre A y B está definida por:
V=x'-xt'-t=∆x∆t …(*)
Donde ∆x= x'-x es el desplazamiento de la partícula y ∆t=t'-t es el tiempo transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo de tiempo es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para determinar la velocidad instantánea en un punto, tal como A, debemos hacer el intervalo detiempo ∆t tan pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo.
Vectorialmente:
Vm(t1 , t2)=∆r∆t=x2-x1t2-t1,y2-y1t2-t1
En el lenguaje matemático esto es equivalente a calcular el valor límite de la fracción (*) cuando el denominador ∆t tiende a cero. Esto se escribe en la forma
V=lim∆t→0V=lim∆t→0∆x∆t
de modoque obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo. Operacionalmente la velocidad instantánea se encuentra observando al cuerpo en movimiento en dos posiciones muy cercanas separadas por una pequeña distancia ∂x y midiendo el intervalo de tiempo ∂t necesario para que vaya de una posición a otra. Entones el término “velocidad” se referirá siemprea la velocidad instantánea.
Vectorialmente:
V(t)=lim∆t→0∆r∆t=(Vxt,Vyt)

ACELERACIÓN:
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si la velocidad permanece constante, se dice que el movimiento es uniforme. Refiriéndonos nuevamente a la Figura 1, supongamos que en el tiempo t el objeto se encuentra en A con una velocidad V y en el tiempo t’ en B con una velocidad V’. Laaceleración promedio (media) entre A y B está definida por
a=V'-Vt'-t=∆V∆t
donde ∆V= V'-V es el cambio en la velocidad y como antes ∆t=t'-t es el tiempo transcurrido. Luego la aceleración promedio durante un cierto intervalo de tiempo es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo durante el intervalo de tiempo.
Vectorialmente:
am(t1 , t2)=∆V∆t=V2-V1t2-t1
La aceleración instantánea esel valor límite de la aceleración promedio cuando el intervalo ∆t es muy pequeño. Esto es,
a=lim∆t→0a=lim∆t→0∆V∆t o a=∂v∂t
de modo que obtenemos la aceleración instantánea calculando la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Operacionalmente, se encuentra la aceleración instantánea observando el pequeño cambio de la velocidad ∂V que tiene lugar en el intervalo muy pequeño de...