Vectoria

1.
a) fx,y=3x2y+y3-3x2-3y2+2
∂f∂x=6xy-6x=0; ∂f∂y=6x2+3y2-6y=0
6xy-6x=0→xy-1=0→ x=0; y=1
6x2+3y2-6y=0
Si x=0:
3y2-6y=0→yy-2=0→y=0;y=2
Si y=1:
3x2+3-6=0→3x2-3=0→x=±1
P10,2, P20,0, P31,1, P4-1,1
∂2f∂x2=6y-6; ∂2f∂y2=6y-6; ∂2f∂x∂y=6x
Det6y-66x6x6y-6=6y-62-36x2
Para P1:
Det=12-62=36
∂2f∂x20,2=62-6=6
Mínimo local para z=f(x,y)
Para P2:
Det=36
∂2f∂x20,0=60-6=-6
Máximo local paraz=f(x,y)

Para P3:
Det=-36
Para P4:
Det=-36

b)
fx,y=x2y2-8x+yxy
∂f∂x=y-1x2=0; ∂f∂y=x+8y2=0
1 y-1x2=0→y=1x2 3
2 x+8y2=0→remplazando 3en 2:x+81x22=0
x+8x4=0→x1+8x3=0
x=3-18=-12→y=1-122=4
P-12,4
∂2f∂x2=2x3; ∂2f∂y2=-16y3; ∂2f∂x∂y=1
Det=-32x3y3-1=328-1=3
∂2f∂x2-12,4=-16
P es un máximo local para z=f(x,y)

c) fx,y=x3-3xy+y3
∂f∂x=3x2-3y; ∂f∂y=3y2-3x
13x2-3y=0→x2-y=0→y=x2 (3)
3y2-3x=0→y2-x=0 2
Remplazando (3) en (2)
x22-x=0
x4+x=0→xx3-1=0→x=0→y=0, x=1→y=1
P10,0, P21,1
∂2f∂x2=6x; ∂2f∂y2=6y; ∂2f∂x∂y=-3
Det=36xy+9
Para P21,1: ∂2f∂x21,1=6 y Det=45 (minimo local para z=f(x,y)
Para P1 su segunda derivada parcial con respecto a X o Y es cero.
e) fx,y=x2+Y2+2x2y+4
∂f∂x=2x+4xy; ∂f∂y=2y+2x
2x+4xy=0→x+2xy=0→x1+2y=0→x=0, x=122y+2x=0→y=-x→Si x=0→y=0, Si x=12→y=-12
P10,0, P212,-12
∂2f∂x2=2+4y; ∂2f∂y2=2; ∂2f∂x∂y=4x
Det=4+8y-16x2
Para P1:Det=4 y ∂2f∂x2=2, entonces P1 es un minimo local para z=fx,y
Para P2:Det=-4 y ∂2f∂x2=0, entonces P1 es punto silla para z=f(x,y)
f) fx,y=xy-2x-y
∂f∂x=y-2; ∂f∂y=x-1
1 y-2=0→y=2
2 x-1=0→x=1
P1,2
∂2f∂x2=0; ∂2f∂y2=0; ∂2f∂x∂y=1
Det=-1
P1,2 es un punto silla3.
fx,y=1+xy-x-y
Región acotada por y=x2 y y=4
∂f∂x=y-1=0 → y=1
∂f∂y=x-1=0 → x=1
Punto crítico p= (1, 1, 0)
Gx,y=x2-y Qx,y=4-y
gx=fx,4=1+4x-x-4
g´x=3
No hay puntos críticos.
cx=fx,x2=1+x3-x-x2
c´x=3x2-2x-1=0
x=1;x=-13
Puntos críticos
P1=1,1,0 y P2=(-13,19, 3227)
Probando intercepciones
x=±2 yy=4
f2,4=3
f-2,4=-9
El punto mínimo absoluto es (-2,4-9)
El punto máximo absoluto es (2,4,3)

4.
fx,y=2x3+y4 en D=x,yx2+y2≤1
Analizando el interior de D:
∂f∂x=6x2
∂f∂y=4y3
Para ∂f∂x=0; ∂f∂y=0
6x2=0→x=0
4y3=0→y=0
P1(0,0)
Analizamos la frontera:
x2+y2=1
y=1-x2
fx=fx,1-x2=2x3+1-x22
fx=2x3+1-2x2+x4
f'x=6x2-4x+4x3;f'x=0
4x3+6x2-4x=0
x4x2+6x-4=0
x=0
x=-6±x,36-648, no se tomay=1
P20,1
Luego evaluando los puntos:
f0,0=0 →Minimo absoluto
f0,1=1 →Maximo absoluto
5.

Caja rectangular de volumen máximo la suma de sus 12 aristas es una constante C.

C=A1+A2+A3+…+A12
Como es una caja rectangular las 12 aristas se acomodan en grupos de 4, donde el tamaño de las aristas(de cada una) es un lado de la caja.
C=4x+4y+4z
X=largo de la caja
y=ancho de la caja
z=alto dela caja
Vx,y,z=xyz x>0, y>0, z>0
z=C4-x-y
Vx,y,z=xyC4-x-y
∂V∂x=Cy4-2xy-y2
∂V∂y=Cx4-2xy-x2
∂2V∂x2=-2y
∂2V∂y2=-2x
∂2V∂x∂y=C4-2y-2x

∂V∂x=Cy4-2xy-y2=0 (1)
∂V∂y=Cx4-2xy-x2=0 (2)
Resolviendo el sistema con x>0, y>0, z>0
y=C12
x=C4-2y
xC12=C12
DetC12,C12>0
∂2V∂y2C12,C12<0
Genera un máximo

zC12,C12=C12
Las dimensiones de lacaja son C12 Unidades de largo, ancho y alto.

6.

V=xyz
R=x,y,zx+2y+3z=6
Analizando el interior de R:
∂V∂x=yz →yz=0
∂V∂y=xz→xz=0
∂V∂z=xy→xy=0
P10,0,0
Analizando la frontera:
gx,y,z=6
gx,y,z=x+2y+3z
∇fx,y,z=λ∇gx,y,z
yz,xz,xy=λ1,2,3
yz=λ→λ=yz (1)
xz=2λ→λ=xz2 (2)
xy=3λ→λ=xy3 (3)
x+2y+3z=6 (4)
Igualando (1) y (2)
xz2=yz
y=12x (5)
Igualando (1) y (3)
xy3=yz
z=x3(6)
Remplazando en (4) a (5) y (6):
x+212x +3x3=6
x+x+x=6
3x=6
Dimensiones de la caja x=2y=1z=23

7.

Vx,y,z=8xyz x>0, y>0, z>0
∇gx,y,z=9x2+36y2+4z2-36

∇Vx,y,z= λ∇gx,y,z

(8yz, 8xz, 8xy)=λ18x,72y,8z

8yz=18λx 1
8xz=72λy (2)
8xy=8λz (3)
9x2+36y2+4z2=36 (4)

Resolviendo con las restricciones x>0, y>0, z>0
x=3222...