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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 1 Para Ingeniería
Cristián Burgos Gutiérrez
Guía de ejercicios N°2: Funciones.
Ejercicios Resueltos.

x+1
x2 + 1

1. Considere la función f : [0, +∞[→ R denida por f (x) = √
(a) Determine el signo de f
Solución:

Dado que x ∈ [0, +∞[, tenemos que la función es siempre positiva, entonces y > 0 ∀x ∈ Dom(f )

(b)Determine Rec(f )
Solución:

Despejando x
y
y2
x2 y 2 + y 2
x2 (y 2 − 1) − 2x + (y 2 − 1)

x+1
√
x2 + 1
(x + 1)2
=
x2 + 1
= x2 + 2x + 1

=

=

0

Entonces
x

=

(1 − y 2 ) ± 4 − 4(y 2 − 1)2
2(y 2 − 1)

x

=

(1 − y 2 ) ± 2 1 − (y 2 − 1)2
2(y 2 − 1)

Luego, tenemos que y = {−1, 1} , además
1 − (y 2 − 1)2

≥

|y − 1|
−1 ≤

0

≤

2

1

2

y −1≤1

De donde se desprenden dos inecuaciones, las cuales son
y2

≥ 0

y −2

≤ 0

2

De la seguna inecuación, se obtiene como solución

√ √
S2 = [− 2, 2]

Como sabemos que y > 0 (relación obtenida en el item anterior) y considerando todas las restricciones, sigue
que
√
Rec(f ) =]0, 2]

2. Dada f (x) =
Solución:

|x + 1| − 2|x − 3| − x. , determine su dominio

Debecumplirse que
|x + 1| − 2|x − 3| − x ≥ 0
|x + 1| − 2|x − 3| ≥ x

En virtud del problema resuelto 7 de la guía 1 , se tiene que
5 7
Dom(f ) = [ , ]
3 2

2

3. Sea f : A → B tal que f (x) =

x−1
3x + 2

(a) Determine los conjuntos A y B tal que f (x) sea invertible
Solución:

Para que sea invertible (posea inversa) debe cumplirse que la relación en primero lugar sea función, que seainyectiva y además epiyectiva, entonces:
i. Dominio de la función: claramente se puede observar que Dom(f ) = R − {− 2 } , luego A = R − {− 2 }
3
3
ii. Análisis de inyectividad: Sean a, b ∈ Dom(f ) . Demostraremos que si f (a) = f (b) ⇒ a = b , entonces
a−1
b−1
=
= f (b)
3a + 2
3b + 2
(a − 1)(3b + 2) = (b − 1)(3a + 2)
f (a) =

3ab + 2a − 3b − 2 = 3ab + 2b − 3a − 2
5a = 5b
a=bLuego, ∀x ∈ A , la función es inyectiva.
iii. Análisis de epiyectividad: Debemos encontrar un conjunto tal que B = Rec(f ), despejando x usando que
f (x) = y , tenemos
y=

x−1
⇔ y(3x + 2) = x − 1 ⇔ 3xy + 2y = x − 1
3x + 2
2y + 1
2y + 1 = x(1 − 3y) ⇔ x =
1 − 3y

En donde podemos ver que B = Rec(f ) = R − { 1 }
3
(b) Determine f −1 (x).
Solución:

En virtud del item anterior, se tieneque
f −1 (x) =

2x + 3
√
4. Dada f (x) = x2 − 1 y g(x) =
x
 3

x

2x + 1
1 − 3x

x≤0
0 < x ≤ 8 . Determine g(f (x)).
x≥8

Solución:


2f (x) + 3

g(f (x)) =
f (x)


(f (x))3

2(x2 − 1) + 3
√
g(f (x)) =
x2 − 1
 2

(x − 1)3

Resolviendo las inecuaciones (1) , (2) y (3) se tiene:
en (1) : x2 − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−1, 1]
en (3) : x2 − 1 ≥ 8 ⇔ x2 − 9 ≥ 0 ⇔x ∈] − ∞, −3] ∪ [3, ∞[
en (2) : 0 < x2 − 1 ≤ 8 , aquí tenemos dos inecuaciones:

f (x) ≤ 0
0 < f (x) ≤ 8
f (x) ≥ 8
x2 − 1 ≤ 0
(1)
2
0 < x − 1 ≤ 8 (2)
x2 − 1 ≥ 8
(3)

3

(a) 0 < x2 − 1 ⇔ x ∈] − ∞, −1[∪]1, ∞[
(b) x2 − 1 ≤ 8 ⇔ x2 − 9 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−3, 3]
De aquí nace la solución general que es la intersección de ambos casos, lo cual será S(2) = [−3, −1[∪]1, 3]
Finalmente

2(x2 −1) + 3
√
g(f (x)) =
x2 − 1
 2

(x − 1)3

5. Dada f (x) =

2−

√

x ∈ [−1, 1]
x ∈ [−3, −1[∪]1, 3]
x ∈] − ∞, −3] ∪ [3, ∞[

2x + 1

(a) Determine Dom(f )
Solución:

Debe cumplirse que
2−

√

2x + 1 ≥ 0

Note que debe complirse que x ≥ − 1 , entonces
2
2≥

√

2x + 1

Elevando al cuadrado
4 ≥ 2x + 1
3 ≥ 2x
3
x≤
2

Realizando las interseccionescorrespondientes
1 3
Dom(f ) = − ,
2 2

(b) Demuestre que f (x) es estrictamente decreciente
Solución:

Consideremos a, b ∈ Dom(f ) tal que a < b , luego
a − 2b + 1
√
√
2 − 2a + 1 > 2 − 2b + 1
√
√
2 − 2a + 1 > 2 − 2b + 1
√

f (a) > f (b)

Luego, podemos ver que efectivamente la función es estrictamente decreciente.
6. Sea f [0, 1[→ R tal que f (x) = √

1
, determine Rec(f )
1 − x2...