Vibración de cuerdas

Vibración de cuerdas

Curso 2010 – 2011
Alumna: Julia Benito Garrido

Índice

Objetivo 3

Introducción 3-5

Montaje Experimental 5

Resultados5-7


Discusión 8-9

Cuestiones 9

Bibliografía 10

OBJETIVO:

En esta práctica se generanvibraciones en cuerdas metálicas sometidas a tensión. La vibración de las cuerdas es analizada ópticamente mediante un contador digital. De esta forma es posible determinar cómo depende la frecuencia de vibración de la cuerda, de su longitud, del diámetro de su sección y de la tensión aplicada.

INTRODUCCIÓN:

En esta práctica se estudian las pequeñas vibraciones transversales de una cuerdahomogénea cuyos extremos están fijos.
Cuando las ondas están confinadas en el espacio, del mismo modo que las ondas en una cuerda sujeta por sus dos extremos, existen reflexiones en ambos extremos y por lo tanto aparecen ondas que se mueven en ambos sentidos. Estas ondas se combinan de acuerdo con la ley general de interferencia de ondas. En el caso de una cuerda esta interferencia resulta en un esquemavibratorio estacionario denominado onda estacionaria.

Figura 1 (F.1):

Para obtener la ecuación diferencial que rige el movimiento de una onda transversal sobre una cuerda en tensión observemos la figura 1. Se puede observar la propagación de una onda transversal en una cuerda de longitud L, sección homogénea s (en toda la cuerda) y densidad ρ también homogénea, tensada con una fuerza F.
Lafuerza que hace volver un elemento diferencial de cuerda, de longitud dx, a su posición de equilibrio es paralela al eje Y e igual a:

Fy = - F sen α + F sen (α + dα) (E.1)

Donde α es el ángulo que forman la fuerza F y el eje X, por tanto debe cumplirse que:
tg α = dy/dx (E.2)

Se considera el caso de pequeñas vibraciones, en el cual se puede suponer que α es infinitesimal. Entonces esválido quedarse a primer orden en el desarrollo de Taylor de las funciones seno y tangente, esto es:
tg α ≈ α ≈ sen α (E.3)

La variación del ángulo α al desplazarnos una distancia dx es:

dα = ∂α dx/ ∂x (E.4)

Al derivar la ecuación E.2, teniendo en cuenta la aproximación dada por la ecuación E.3 se obtiene:

dα = (∂2 y/∂ x2)dx (E.5)

Ahora se puede reescribir la ecuación E.1, usando denuevo el desarrollo de Taylor como:

Fy = F(∂2 y/∂ x2)dx (E.6)

La masa de un elemento diferencial de cuerda dx es:

dm = ρ s dx (E.7)

Donde s = π r2 es la sección transversal, r el radio de la cuerda y ρ la densidad del material del que está hecho el hilo. Entonces aplicando la segunda ley de Newton resulta:

Fy = dm(∂2y/∂ t2) (E.8)

De donde se obtiene la ecuación de onda deD’Alembert:

(∂2y/∂t2)=(F/ ρ s)(∂2y/∂x2) (E.9)

Que corresponde a una ecuación de ondas (en este caso una onda transversal) con velocidad de propagación

c = √( F/ sρ) (E.10)

Poniendo las condiciones de contorno y = 0 en x = 0 así como en x = L, las soluciones estacionarias son funciones sinusoidales del tipo:

y (x,t) = sen (n 2πf t) sen (2π n x/2L) (E.11)

Donde f es la frecuenciafundamental de vibración o primer armónico, que se define como la frecuencia de oscilación más baja de un sistema mecánico.

f =1/2L √ (F/ sρ ) (E.12)

Los números enteros n determinan la frecuencia y longitud de onda de los armónicos sucesivos. Se define un armónico como “cualquiera de los componentes sinusoidales de una onda periódica, cuya frecuencia es un múltiplo de la frecuencia...