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La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabíadel método desde 1729).1
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que puedenimplicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si es un sistema de ecuaciones. es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución alsistema se presenta así:

donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ha de ser no nulo.
Sean:

Usando las propiedades de la multiplicación de matrices:

entonces:

Por lo tanto:

Aparte, recordando la definición de determinante, la sumatoria definidaacumula la multiplicación del elemento adjunto o cofactor de la posición , con el elemento i-ésimo del vector (que es precisamente el elemento i-èsimo de la columna , en la matriz ).

Eliminación de Gauss-Jordan
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En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal paradeterminar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.El metodo de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria.
El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía anteriormente en un importante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del arte matemático
Ejemplo
Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacensimultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
* Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
* Intercambiar de posición dos ecuaciones
* Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarsecon matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces lasegunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3...