Volumenes De Solidos De Revolucion

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta algirar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. |
Calculo de volúmenes Método del disco. Si giramosuna región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = wR2π Para ver cómo usar el volumendel disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica. |

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma seaproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: wR2π))((121−=∞→−=ΣiiininxxcfVLimπ
Fórmula del volumen por discos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
()∫=badxxfV2)(π
si se toma el eje de revoluciónverticalmente, se obtiene una fórmula similar:
()∫=dcdyyfV2)(π
Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemassobre sólidos de revolución.
COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que
sea PERPENDICULARal eje de rotación. Laregión al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.
2. Hallar: para el caso del disco elradio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.
3. Establecer los límites de integración.
4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.