volumenes

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez

Método del disco
¿Cuándo se usa?

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Departamento de Ciencias Básicas

Presenta mayores ventaja cuando la región de giro ( es en torno del eje ? o a una recta paralela
al eje ?

Sea ( la región del plano limitada por & ~  %!, el eje %, las rectas % ~  y % ~  ., que gira
entorno al eje ? generando un sólido de revolución, el cual deseamoscalcular su volumen.

y

y

Rectángulo
representativo
y = f(x)

y = f(x)

Región
A

x=a

f(x)
x =b

x

x=a

x =b

'x

x

Para calcular el volumen de este sólido en revolución consideremos un rectángulo
representativo de esta región plana. Donde:

'x
f(x)

Eje de giro (Eje x)

f(x)

/V
Eje de giro (Eje x)

'x

S > f  x @ 'x
2

Cuando hacemos girar este rectángulo alrededor del eje de revolución,genera un disco
representativo cuyo volumen es:
"= ~ &  "%

Si aproximamos el volumen total del sólido de revolución por  de tales discos entre  y  .
Tenemos:

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Volumen del sólido š  "&# "%
~

Tomando el límite cuando P"P ¦   ¦ B!. Tenemos:


Volumen del sólido ~  "&# "%
~
Por lo tanto:

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Cuando el eje de revolución es el eje ? y la frontera superior de la región plana viene dada por
una curva & ~  %! entre % ~  y % ~  , el volumen = del sólido de revolución viene dado por
= ~  "&# %




Como & ~  %! también lo podemos escribir

= ~  " %!# %




Análogamente, cuando el eje de rotación de la región ( es el eje & , donde un lado de la región
plana esta dado porla curva % ~  & ! entre & ~  e & ~  . El volumen = del sólido de revolución es:
Eje de giro Vertical (eje y)

y

y

x =g(y)

y =d

y =d

A

y =c

A

y =c
x =b

x

x =g(y)

x

= ~  % &




= ~  " & !# &




105

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Caso especial: Cuando el eje de rotación es paralelo al eje ? , pero distinto aleje ? :

Sea & ~  %! una función que gira sobre una eje horizontal & ~  ;  una constante.

y

[ f(x) – k]
f(x) t 0
y=k

k
'x

x=a

x

x =b

"= ~ " %! c  # "%
Por lo tanto: El volumen del solido de revolución esta dado por:
= ~  " %! c  # %




Extensión del método de los discos:

Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero):

El método de los discos puede extendersefácilmente para incluir sólidos de revolución generados
por dos funciones, tales como  %! ‚  y  %! ‚  . Se tienen los siguientes casos:
Caso 1: Rotación en torno al eje %. Sea  %! ‚  y  %! ‚ À D%  " Á  #
y

[ f (x ) – g (x ) ]
f (x ) t 0
g (x ) t 0
x = a

'x

x =b

"= ~ " %!# "% c " %!# "%
"= ~ <" %!# c " %!# ="%
106

x

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Por lo tanto, elvolumen del solido de revolución esta dado por:
= ~  <" %!# c " %!# =%




Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al eje ? .

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Sea  %! ‚  y  %! ‚  D%  " Á  # y consideremos al eje de rotación & ~  ; con  una
constante.
[ f(x) – g(x)]

y

f(x) t 0
g(x) t 0
'x
k

x=a

x =b

y=k
x

"= ~ " %! c  # "% c " %! c  # "%
"= ~<  %! c  ! c  %! c  ! ="%

Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:
= ~  <  %! c  ! c  %! c  ! =%




Análogamente se presentan los mismos casos cuando el eje de rotación es paralelo y distinto del
eje @ . (estudiar)

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Ejemplos resueltos método de los discos - eje de giro %

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Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada en torno al eje %, por la
gráfica de:
1. & ~ % b , el eje %, en "  Á #

y

y

2x  3
f(x)

x =1

x =4
'x

= ~  " %!# %




~  "% b # %




~  <% b % b
=%





~ @ % b
% b
%A




~  "À  #À!

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x

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2.& ~ % b , el eje %...