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FACULTAD DE INGENIERÍA
Escuela de Ingeniería Industrial
Matemática II
Límite de una función
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El concepto de límite de una función es básico en el estudio del cálculo diferencial; el cual origina
el estudio del cálculo del valor de una función en la proximidad de un número.

1. DEFINICIÓN DE LÍMITE
El número real L es el límite de 𝑓(𝑥) cuando x se aproxima a 𝑥0 , al cual lodenotaremos por:
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 si y solo si para todo número 𝜀 > 0 existe un número 𝛿 > 0 tal que, para todo
𝑥→1

𝑥 ∈ 𝐷𝑓 y 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.
En forma simbólica:

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺ ∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

𝑥→𝑥0

2. DEMOSTRACIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Para demostrar la existencia de un límite, lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 , es necesario demostrar quedado
𝑥→𝑥0

cualquier 𝜀 > 0 es posible encontrar un 𝛿(𝜀) > 0
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

tal que, si 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 ⟹

Para lo cual se sigue los siguientes pasos:
1°. Se descompone |𝑓(𝑥) − 𝐿| en dos factores: |𝑓(𝑥) − 𝐿| = |𝑔(𝑥)| ∙ |𝑥 − 𝑥0 |
2°. Se asigna a 𝛿 un valor inicial 𝛿1 , según la forma que tenga 𝑓(𝑥):
 Si 𝑓(𝑥) es un polinomio, hacer 𝛿1 =

1
𝑛

, 𝑛𝜖ℝ+ − {0}. (en particular elegir 𝑛𝜖ℤ+ )
1

|𝑎 − 𝑥0 | ,𝑛𝜖ℤ+ , donde 𝑥 = 𝑎
 Si 𝑓(𝑥) es un cociente de dos polinomios, hacer 𝛿1 =
𝑛+1
es una asíntota vertical de 𝑓(𝑥). (en particular es la asíntota vertical más cerca a 𝑥0 ).
 Si 𝑓(𝑥) es una función que contiene radicales de índice par, el acotamiento de 𝑔(𝑥)
se hace a partir del dominio de 𝑓(𝑥).
3°. Se acota |𝑔(𝑥)|, es decir encontrar un número 𝑀 tal que cumpla: |𝑔(𝑥)| < 𝑀; a partir de
0 < |𝑥 − 𝑥0 |< 𝛿
4°. Se reemplaza |𝑔(𝑥)| < 𝑀 en |𝑓(𝑥) − 𝐿| = |𝑔(𝑥)| ∙ |𝑥 − 𝑥0 |
5°. Se elige el 𝛿 menor, es decir: 𝛿(𝜀) = 𝑚𝑖𝑛{𝛿1 , 𝛿2 }
Con lo cual queda demostrado que es posible encontrar un 𝛿(𝜀), para todo 𝜀 > 0,
consecuentemente, la existencia de lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑥0

Lic. Elvis Soto Apolitano

1

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Límite de una función

Ejemplo 1:
Aplicando la definición de límite, demostrar que lim (𝑥 2 + 𝑥 −6) = −6
𝑥→−1

Demostración:
Por la definición de límite se tiene:

lim 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = −6 ⟺ ∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿(𝜀) > 0 / 𝑠𝑖 0 < |𝑥 + 1| < 𝛿

𝑥→−1

⟹

⟹ |𝑥 2 + 𝑥 − 6 − (−6)| < 𝜀
1°. Se descompone |𝑓(𝑥) − 𝐿| = |𝑔(𝑥)| ∙ |𝑥 − 𝑥0 |
|𝑓(𝑥) − 𝐿| = |𝑥 2 + 𝑥 − 6 + 6 | = | 𝑥 2 + 𝑥 | = | 𝑥(𝑥 + 1) | = | 𝑥 || 𝑥 + 1 |
2°. Se asigna a 𝛿 un valor inicial 𝛿 = 𝛿1
𝛿1 =

1 1
= =1 , 𝑛=1
𝑛 1

3°. Se acota |𝑔(𝑥)|, |𝑔(𝑥)| < 𝑀 , apartir de 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿1
|𝑥 + 1| < 1 ⟹ −1 < 𝑥 + 1 < 1
⟹ −2 < 𝑥 < 0
⟹ −2 < 𝑥 < 0 < 2
⟹ |𝑥 | < 2 = 𝑀
4°. Se reemplaza |𝑔(𝑥)| < 𝑀 en |𝑓(𝑥) − 𝐿| = |𝑔(𝑥)| ∙ |𝑥 − 𝑥0 |
|𝑓(𝑥) − 𝐿| = | 𝑥 || 𝑥 + 1 | < 2| 𝑥 + 1 | < 𝜀
⟹ 2| 𝑥 + 1 | < 𝜀
𝜀
⟹ | 𝑥 + 1 | < = 𝛿2
2
5°. Se elige el 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛{𝛿1 , 𝛿2 }
𝜀
𝛿 = 𝑚𝑖𝑛{𝛿1 , 𝛿2 } = 𝑚𝑖𝑛 {1, }
2
 Dado un 𝜀 > 0 , ∃ 𝛿(𝜀) =

𝜀
2

/ 𝑠𝑖 0 < |𝑥 + 1| < 𝛿

⟹ |𝑥 2 + 𝑥 − 6 − (−6)| <𝜀

Lo queda demostrado que:

lim (𝑥 2 + 𝑥 − 6) = −6

𝑥→−1

3. TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE
El límite de una función si existe, es único, es decir:
Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿1
𝑥⟶𝑥0

Lic. Elvis Soto Apolitano

𝑦

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿2

𝑥⟶𝑥0

⟹

𝐿1 = 𝐿2

2

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Límite de una función

4. PROPIEDADES SOBRE LIMITES DE FUNCIONES
Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥⟶𝑥0

;

lim 𝑔(𝑥) = 𝑀

𝑥⟶𝑥0

y

k una constante, entonces:

a)Límite de una constante: lim 𝑘 = 𝑘
𝑥⟶𝑥0

b) Límite del producto de una constante:

lim 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ lim 𝑓(𝑥)

𝑥⟶𝑥0

𝑥⟶𝑥0

lim [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) ] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀

c) Límite de una suma:

𝑥⟶𝑥0

d) Límite de un producto:

e) Límite de un cociente:

𝑥⟶𝑥0

𝑥⟶𝑥0

lim [ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ] = lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 ⋅ 𝑀

𝑥⟶𝑥0

𝑥⟶𝑥0

𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑥⟶𝑥0

lim

lim 𝑓(𝑥)

=

𝑥⟶𝑥0

lim 𝑔(𝑥)

𝑥⟶𝑥0

=

𝐿
𝑀

𝑥⟶𝑥0

;𝑔(𝑥) ≠ 0 ; 𝑀 ≠ 0
𝑛

f) Límite de una potencia:
g) Límite de una raíz:

lim [ 𝑓(𝑥) ]𝑛 = [ lim 𝑓(𝑥)] = (𝐿)𝑛 ; 𝑛 ∈ ℤ+

𝑥⟶𝑥0

𝑥⟶𝑥0

lim 𝑛√𝑓(𝑥) = 𝑛√ lim 𝑓(𝑥) = 𝑛√𝐿 ; 𝑛 𝑝𝑎𝑟 ∈ ℤ+
𝑥⟶𝑥0

𝑥⟶𝑥0

h) Límite de un valor absoluto:

lim |𝑓(𝑥)| = | lim 𝑓(𝑥)| = |𝐿|

𝑥⟶𝑥0

𝑥⟶𝑥0

5. CALCULO DE LIMITES
i.

En este caso se reemplaza 𝑥 por 𝑥0 en la regla de correspondencia de 𝑓(𝑥) y se obtiene un
único número 𝐿 (𝐿...