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*problema del valor inicial es una ecuación diferencial
junto con un punto en el dominio de f
llamó condición inicial.
A solución al valor inicial un problema es una función y eso es una solución a la ecuación diferencial y satisface
y(t0) = y0.
Esta declaración incluye problemas de una orden más alta, interpretando y como a vector. Para derivados de la segunda o más alta orden, nuevasvariables (elementos del vector y) se introducen.
Más generalmente, la función desconocida y puede tomar valores en espacios dimensionales infinitos, por ejemplo Espacios de Banach o espacios de distribuciones.
Existencia y unicidad de soluciones
Para una clase grande de los problemas del valor inicial, la existencia y la unicidad de una solución pueden ser demostradas.
Teorema de Picard-Lindelöfgarantiza una solución única en cierto contener del intervalo t0 si f y su derivado parcial sea continuo en contener de la región t0 y y0. La prueba de este teorema procede reformulando el problema como equivalente ecuación integral. El integral se puede considerar un operador que traz una función en otra, tal que la solución es a punto fijo del operador. Teorema del punto fijo de Banach entoncesse invoca para demostrar que existe un punto fijo único, que es la solución del problema del valor inicial.
Una más vieja prueba del teorema de Picard-Lindelöf construye una secuencia de las funciones que convergen a la solución de la ecuación integral, y así, la solución del problema del valor inicial. Tal construcción a veces se llama el “método de Picard” o “el método de aproximacionessucesivas”. Esta versión es esencialmente un caso especial del teorema del punto fijo de Banach.
Hiroshi Okamura obtuvo a condición necesaria y suficiente para la solución de un problema del valor inicial a ser único. Esta condición tiene que hacer con la existencia de a Función de Lyapunov para el sistema.
En algunas situaciones, la función f no está de clase C1, o aún Lipschitz, así que el resultadogeneralmente que garantiza la existencia local de una solución única no se aplica. Teorema de la existencia de Peano sin embargo prueba eso incluso para f simplemente continuas, las soluciones están garantizadas para existir localmente a tiempo; el problema es que no hay garantía de la unicidad. El resultado se puede encontrar en Coddington y Levinson (1955, teorema 1.3) o Robinson (2001, teorema2.6).
*Ejemplo
La solución general de
puede ser encontrado para ser
y(t) = 2e − 3t + 2t + 1.
De hecho,
y' + 3y | = (d / dt)(2e − 3t + 2t + 1) + 3 (2e − 3t + 2t + 1) |
| = ( − 6e − 3t + 2) + (6e − 3t + 6t + 3) |
| = 6t + 5. |

En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada encontrada en un extremo de éste Fig. . Para obtener una exactitud razonable seutiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que se realizarán más cálculos).
El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.
 
 

 
EL METODO DE EULER MODIFICADO CONSTA DE DOS PASOS BASICOS:
 
1. Se parte de(xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso se conoce como paso predictor.
2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecuacióndiferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)
 
 
1/2 [F(xo ,Yo) + F(Xl,YI)] = derivada promedio
 
Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y1, con la ecuación y1=y0+hf(x0,y0), que deberá ser mas exacto que y1
 

 
y se tomara como valor definitivo de y1. Este procedimiento...
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