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GRADO EN ECONOMÍA.
MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA y LA
EMPRESA
RELACIÓN COMPLEMENTARIA DE PROBLEMAS.
LECCIÓN 1 (Epígrafes 1-4)

1.- Dada la función f ( x) 

x2  3  x
, analice su crecimiento en el punto x = 1.
 
sen 
 2x 

Solución:
Para analizar el crecimiento de una función necesitamos calcular el signo de su función
derivada primera, si esta es positiva la función escreciente y si es negativa es decreciente.
Pasemos a ver qué ocurre con nuestro problema, al ser un cociente aplicamos la regla de
derivación del cociente:

x2  3  x
 
sen 
 2x 

f ( x) 






    
1
    

 2x 
 sen    x 2  3  x  cos  2 



2 x  2 x 
2 3  x   2 x  

f ´(x)  
2
   
 sen  


  2x  Sustituimos ahora la derivada en el punto x = 1

f ´(1) 

1      
    

 2   sen    3 cos 



4   2   
2  2 

   
 sen  


  2 

2

Al ser positiva esta función es creciente para x = 1.
2.- Dada la función:

f ( x)  ln(4  x 2 )
a) Obtenga su dominio.
b) ¿Es creciente o decreciente en x  1?
c) ¿Es convexa ocóncava en x  1?
Solución:

 f ´(1)  2 

1 9

4 4

a) Como la función es logarítmica, existirá siempre que la expresión que figura dentro del
logaritmo sea estrictamente positiva, es decir, siempre que:
4  x2 > 0
Como 4  x2 = 0 si x =  2 ó x = 2, tenemos la recta real dividida en tres intervalos:
(,2), (2,2), (2, )

Dando valores, se observa que 4  x2 es negativo en elprimer y tercer intervalos, y es
positivo en el segundo. Así pues,
D f  (2,2)  x  R /  2  x  2 .

b) Para analizar el crecimiento de una función necesitamos calcular el signo de su función
derivada primera, si ésta es positiva la función es creciente y si es negativa es decreciente.
Pasemos a ver qué ocurre con nuestro problema:

f ' ( x) 

 2x
4  x2



f ' (1)  

20,
3

luego f es decreciente en 1.
c) Una función es cóncava cuando el signo de su segunda derivada es negativo, y convexa
en caso contrario. Calculemos por tanto la segunda derivada:
 2x 2  8
f ' ' ( x) 

(4  x 2 ) 2

f ' ' (1)  

10
 0,
9

luego f es cóncava en 1.

3.- Sean las funciones:
f ( x, y, z )  ( x 2 yz , Ln( xyz ), e xyz )
g (u, v, w) 

uv
w

a)Determine el dominio de f y g.
b) ¿Se pueden componer f y g?
Solución:
a) Vemos que la función f es una función vectorial, mientras que la función g es una
escalar. Si llamamos D al dominio de la función f y H al de la g tenemos:

f : D  R3  R3

g : H  R3  R

siendo

D  ( x, y, z)  R 3 / xyz  0
puesto que el logaritmo neperiano sólo puede aplicarse a números estrictamente positivosmientras que
H  (u, v, w)  R 3 / w  0
puesto que, al ser la función g un cociente, sabemos que el denominador no puede ser nulo.
b) Dado que

f : D  R3  R3
g : H  R3  R
en principio, la única composición que debemos estudiar más detenidamente es (gof)
puesto que la composición (fog) sería imposible dado que esta última implicaría aplicar f al
resultado de haber aplicadoanteriormente g, es decir, deberíamos calcular fg(u,v,w) lo
cual sólo sería posible si se cumpliera que g(H)  D  R3 pero, en nuestro caso esto no es
cierto, dado que, como se puede ver, la función g es una función escalar, es decir, su
espacio imagen se encuentra en R y no en R3. En cambio, para que sea posible (gof), lo
cual supondría aplicar g al resultado de haber aplicado antes f,gf(x,y,z), se debe cumplir
que f(D)  H  R3 . En principio, vemos que estamos en un espacio con la dimensión
adecuada así que nos queda por ver si f(D)  H. Dado que H se encuentra formado por los
vectores de R3 cuya tercera componente es distinta de cero y dado que la tercera
componente de f, exyz, nunca puede tomar el valor cero la composición sería posible siendo
la misma:
4.- Calcule Dv f (...