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TEORÍA DE LA DECISIÓN
Teoría básica en el desarrollo de la Estadística Prof. J. Eugenio Martínez Falero

Definición

La toma de decisiones es un proceso durante el cual la persona debe escoger entre dos o más alternativas. Todos y cada uno de nosotros pasamos los días y las horas de nuestra vida teniendo que tomar decisiones. Algunas decisiones tienen una importancia relativa en eldesarrollo de nuestra vida, mientras otras son determinantes en ella.

TOMA DE DECISIONES

• Los capítulos tradicionales de la estadística como la teoría de la estimación y el contraste de hipótesis, han sido objeto de un nuevo enfoque. • Con la teoría de la decisión se pueden llevar a cabo muchas aplicaciones en forma más correcta.

TOMA DE DECISIONES
El problema de la estimación aparece deforma natural cuando se considera el estudio de cualquier fenómeno real y alguna característica X del mismo es objeto de observación. La mayoría de las veces las observaciones revelan que X es magnitud variable que no puede ser prevista con certeza. Por ello se asocia a dicho fenómeno real un modelo aleatorio, de modo que la variable X pueda ser considerada en el mismo como una v.a.

TOMA DEDECISIONES
Las n observaciones realizadas sobre dicha X constituirán una muestra: X= (x1, x2,..., xn), que debe suministrar información sobre los parámetros que determinan el modelo elegido. Cuando el modelo contiene la distribución de probabilidad de X de forma completamente especificada la elección de las decisiones que hay que adoptar, cuyas consecuencias también dependen de X, pueden ser hechas enfunción de criterios basados en esa ley de probabilidades.

INFERENCIA Y DECISIÓN
ESTIMACIÓN:

Cualquier problema de estimación de un parámetro θ puede verse como un caso particular de decisión donde el conjunto de acciones coincide con el de sucesos: ambos iguales al conjunto de posibles valores del parámetro.

INFERENCIA Y DECISIÓN
En la estimación clásica no existe una distribución deprobabilidad sobre los valores de ϑ, por lo que la solución no es directa.

ˆ Si L(θ, θ) es la función de pérdida, que toma valor ˆ cero cuando θ = θ, con X realización muestral, el riesgo del estimador (decisión) viene dado por:

ˆ ˆ R(θ, θ) = ∫ Θ L(θ, θ).f ( X / θ)dX

INFERENCIA Y DECISIÓN

La decisión óptima (el estimador óptimo) será aquel con riesgo menor para todos los valores deθ, cuando éste exista. Por ejemplo, tomando como función de pérdida ˆ ˆ L(θ, θ ) = k(θ- θ)2 y θ media de una población N(θ,σ) con σ conocida, el riesgo del estimador x es σ2/n, y es menor que para cualquier otro estimador, sea cual sea el valor de θ.

INFERENCIA Y DECISIÓN
En la estimación bayesiana al existir siempre una distribución de probabilidad para el parámetro el problema está siempreresuelto. ˆ Si L(θ, θ ) es la función de pérdida, el estimador óptimo inicial es aquel que minimiza la pérdida esperada:

ˆ ˆ R(θ, θ) = ∫ Θ L(θ, θ).f ( θ)dθ

Al tomar la muestra X, el riesgo del estimador (decisión) viene dado por:

ˆ ˆ R(θ, θ) = ∫ Θ L(θ, θ).f ( θ / X )dθ

INFERENCIA Y DECISIÓN
El enfoque decisional se adapta mejor a la metodología bayesiana por dos razones: 1. Conduce aun estimador claramente definido y óptimo con el criterio elegido. Establece una guía clara para escoger el estimador, tanto antes como después de tomar la muestra, y de evaluar los beneficios aportados por ésta (reducción de la Vza).

2.

En inferencia clásica el enfoque decisional no tiene ventaja práctica, ya que, en general, no es posible encontrar estimadores con menor riesgo.INFERENCIA Y DECISIÓN
CONTRASTES:

Un contraste de hipótesis puede analizarse como un problema de decisión con dos acciones posibles: d0=aceptar H0 d1=aceptar H1 Las consecuencias se miden con la función de pérdida L(Hi, dj) tal que L(Hi, di)=0.

INFERENCIA Y DECISIÓN
La decisión óptima del contraste será d0 si: P(H1)L(H1, d0)< P(H0)L(H0, d1) El enfoque clásico no asigna probabilidades a las...