A Complemento 12014

Coordinación MAT022
Campus Santiago Vitacura

Apuntes de

MAT022 - Complementos

3a vs. 1◦ sem.2014

Prefacio

Estimados alumnos:
Este texto, en su segunda versión en formato de libro, es el resultado del esfuerzo de muchos colegas del Departamento de Matemática de la Universidad Técnica Federico Santa María, que a lo
largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporanapuntes de profesores
del Campus Santiago, especialmente de Juan Bahamodes, Nelson Cifuentes, Roberto Geraldo,
Leonel Guerrero y Erick Inda. En esta versión, éstos han sido editados por quien suscribe, para
que su estructura incorpore no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino
que también varios ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo,
paralograr mejores aprendizajes. Hemos optado también por incluir muchas demostraciones de
los teoremas que verán en clases. No es el objetivo que todos ellos sean vistos en clases. Más bien,
esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensión
de los conceptos involucrados, y de comprender cómo se realiza la construcción del conocimiento
matemático. Esperamosque esta primera versión, aún preliminar, les sea de utilidad, y que cualquier error que encuentren (por cierto, involuntario), sea informado al mail indicado abajo.
El apunte está estructurado y ordenado en la forma de «clases» correlativas, estimando el tiempo
necesario para tratar los temas que comprende el programa, clase a clase. Esto no los debe llevar a
equívocos: el número total de clasesen un semestre es superior al número de clases que aparecen
en este texto. Esto se debe a que no se incluyeron aquí, de manera numerada, las clases de ejercicios
que se intercalan en algunos momentos, de acuerdo al calendario de certámenes de cada semestre,
las eventuales falencias detectadas y a las necesidades específicas que cada curso determine.
Es importante que tengan presente que esteapunte no reemplaza las clases. Para lograr un buen
aprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental que asistan a clases,
participen activamente en ella, estudien de manera metódica, ojalá estructurando un horario de
estudio diario, preparándose siempre para su próxima clase y que planteen a sus profesores cualquier duda conceptual que les surja. Si sus dudas aparecencuando están resolviendo un problema,
revisen los apuntes (éstos y los personales de clases), ya que es posible que hay algún concepto que
no han comprendido cabalmente, reintente, aplique muchas alternativas de solución e intercambie
I

P REFACIO

Verónica Gruenberg Stern

opiniones y métodos con sus compañeros. Esta forma de estudiar les entregará una comprensión
más profunda de las ideas yconceptos que estudiaremos en este curso y, por cierto, tendrán un
aprendizaje de calidad.
Deseándoles la mejor experiencia de aprendizaje y que su trabajo sistemático rinda los frutos que
esperan, los invita a iniciar esta aventura, muy cordialmente,

Verónica Gruenberg Stern

veronica.gruenberg@usm.cl

II

Índice general

Prefacio

I

Índice general

III

1. Matrices

1

1.1. CLASE 1 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Conceptos Básicos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Operatoria con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Propiedades de las Operaciones Matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. CLASE 2 . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. CLASE 3: Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1. Matrices elementales ....