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Números figurados
Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela cuando su profesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta correcta poco después de ser formulada la pregunta.Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera:
  S=101x50=5050
Seguramente conocerás los números triangulares y cuadrados que fueron estudiados por los Pitagóricos en el s. VI a.C.
Números Triangulares:

Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular (trianón) era una figura sagrada por la que tenían la costumbre de jurar.
Tabla de los números triangulares:
Nº | 1 | 2 | 3 | 4 |........... | n | . | . |
T | 1 | 3 | 6 | 10 | | ¿Tn? | . | . |

Si observamos la naturaleza de los números triangulares es fácil reconocer las dos propiedades siguientes:
Tn = Tn-1 + n
Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n
* Basándote en la última propiedad, y procediendo como Gauss, descubre la expresión del enésimo número triangular. Halla también la expresión de los dos que le siguen.
Númeroscuadrados:

Tabla de los números cuadrados:
Nº | 1 | 2 | 3 | 4 | ........... | n | . | . |
C | 1 | 4 | 9 | 16 | ........... | n2 | . | . |
 
* Halla la expresión de los dos números cuadrados que siguen al enésimo. Haz lo mismo con los dos anteriores.
El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relación entre los números triangulares y los cuadrados: 

*Comprueba la igualdad de forma algebraica
Existen más tipos de números figurados:
Oblongos (Números rectangulares en los que la dimensión de un lado es una unidad mayor que el otro)

Pentagonales

Hexagonales

Estrellados

Cúbicos

Tetraédricos

Técnicas para buscar el patrón
Métodos geométricos

El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se expresa como la suma de tresnúmeros triangulares de un orden menor y de los puntos de su lado Pn = 3 · Pn-1 + n , de donde

* Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números estrellados.

* Realiza la misma actividad con los números hexagonales:

Ten presente que uno de los vértices se cuenta dos veces.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de númerosreales de manera que cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia . Veamos algunos ejemplos:
-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = -8 y d = 5.
70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 = 70 y d = -30.
3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2.

De esta manera se tiene que :

En general tenemos que
En muchasocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PA:

Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n. Observamos que el enésimo número triangular se construye sumando los n primeros términos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4, ......, n, de primer término 1, enésimo término n y diferencia 1. Si aplicamos la fórmula anterior se tiene queUtilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del enésimo número pentagonal:
P 1= 1
P2 = 1+4
P3 = 1+4+7
P4 = 1+4+7+10
P5 = 1+4+7+10+13
Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y diferencia 3, tenemos que Pn se corresponde con la suma de los n primeros términos de la sucesión. En virtud de las fórmulas que hemos visto:

* Halla, mediante una técnica similar, eltérmino general de los números hexagonales y estrellados.
Diferencias finitas
Comencemos estudiando las diferencias entre los términos consecutivos de una PA cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...

Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales:

Y la de los números cúbicos:

En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los números...