A.C Matemáticas

Sector: Matemática
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Nível : ___- ___

Análisis Combinatorio
INTRODUCCIÓN

En Análisis Combinatorio es una parte de la matemática que se ocupa de resolver los problemas de ordenamiento de conjuntos.
Para comprender el concepto de ordenamiento de conjuntos, corresponde a algún orden lógicose les atribuye a cierto conjunto de elementos ya sea un conjunto numérico o no, y para resolver se deben comenzar por los principios básicos del ordenamiento





PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Def:
Si una operación puede efectuarse de n maneras diferentes y realizada una cualquiera de ellas, una segunda operación puede efectuarse de p maneras distintas, entonces el número total ( N) de maneras diferentes, en que pueden realizarse a la vez ambas operaciones es:
N = n × p
Un ejemplo:

1-. De cuantas formas se puede escribir un número de 3 cifras con los dígitos {2,,3,4,5}

|4 |3 |2 |
|pos |pos |Pos |



2-. En una tienda se venden diferentes electrodomésticos. Para ofrecer bien los productos se ubican 3 radios de diferentescaracterísticas en una vitrina. De cuantas formas las pueden colocar si la vitrina solo permite colocarlas en línea recta?

Sea R={1,2,3} entonces
|3 |2 |1 |
|pos |pos |Pos |



La respuesta es 6; pues en la posición 1 ngo 3 elecciones de elegir, pero en la posición 2 tengo 2, pues la primera ya fue elegida y finalmente en latercera me queda una sola. Luego
N = 3 ( 2 ( 1 = 6

Observación: Este principio puede extenderse a más de dos operaciones.

2… Un matrimonio decide comprar una radio y una cocina. Si en el lugar donde harán la compra, le ofrecen 4 tipos de radios diferentes y 2 clases de cocina, ¿de cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez?

Sol:N = 4 × 2 = 8 formas diferentes

Esto sucede pues

| |R1 |R2 |R3 |R4 |
|C1 | | | | |
|C2 | | | | |



Cada casillero en blanco es una posible elección, por lo que tienen 8 posibles elecciones




FACTORIAL

El factorial de un número cualquiera n, se lo simboliza n!., o sea que ladefinición de factorial queda:
n! = =n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1!


Aplicando la definición en forma sucesiva, se tiene:
n!= n( n -1)!O n! = n(n -1)(n -2)!
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!

Así por ejemplo:
2! = 2(1 = 2 3! = 3(2(1 = 6 4! = 4(3(2(1 = 24
Observación
Seconsideran verdaderas las siguientes situaciones:

[pic]


Por ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante?
P5 = 5! = 120







SIMPLIFICACIÓN DE FACTORIALES


Para simplificar un factorial con otro factorial, se deben descomponer según su desarrollo, o sea por ejemplo:
[pic]


COEFICIENTE BINOMIAL


Se define [pic] como el coeficientebinomial como





[pic]





Esta expresión se representa también como [pic]





Ejemplo [pic]





PERMUTACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN


Las permutaciones simples o sin repetición de n elementos se define como la cantidad de conjuntos que se pueden formar con los n elementos del conjunto. Se denota por
[pic]

Obs:
Un caso particular de esta distribuciónsucede cuando 5 personas se sientan en 5 sillas formando una circunferencia. En este caso, llamándose Permutación Circular se define por

[pic]

Por lo que se podrían sentar en 24 posibilidades

Otro Ejemplo:
¿ De cuantas formas se pueden sentar el rey Arturo y sus 12 caballeros de la mesa redonda?

[pic]


VARIACIONES O ARREGLOS SIN REPETICIÓN...