C Basicos 2015 2

UNIVERSIDAD

de

´ N
CONCEPCIO

´
FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS y MATEMATICAS
´
DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA MATEMATICA
(DIM)

´
´
Analisis
Numerico
I,
(Bioingenier´ıa (525240),

´
´
Metodos
Numericos
Ing. Ambiental (525370)

0

(2 semestre de 2015, Prof. Manuel Campos)

´
Conceptos Basicos
Normas: Normas vectoriales y matriciales. Productos interiores.
´ de errores.
Errores: Errorescomputacionales. Propagacion

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-1-

´
DIM – Universidad de Concepcion

Normas vectoriales
˜ de un vector es mediante una norma.
La manera usual de expresar el tamano
´ Sea V un espacio vectorial. Se llama norma sobre V a cualquier
Definicion.
´
funcion

∥·∥: V
v

−→ R
−→ ∥v∥

que satisfaga:
1.

∥v∥ ≥ 0

∀v ∈ V

2.

∥v∥ = 0

⇐⇒

3.

∥kv∥ = |k| ∥v∥

4.

∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥

(positividad),

v=0

´(no degeneracion),

∀v ∈ V, ∀k ∈ R
∀v, w ∈ V

(homogeneidad),
(desigualdad triangular).

A un espacio vectorial V provisto de una norma ∥ · ∥ se le llama espacio
vectorial normado y se le denota (V, ∥ · ∥).

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´
DIM – Universidad de Concepcion

Normas vectoriales
Ejemplos. Dados
 V

=Rn (espacio de vectores columna de n componentes

x
 1 
 . 
reales) y x =  ..  ∈ Rn , sedefinen las siguientes normas:


xn
( n
) 21
∑
|xi |2 .
• Norma euclideana: ∥x∥2 :=
i=1

• Norma infinito: ∥x∥∞ := m´ax |xi |.
1≤i≤n

• Norma uno: ∥x∥1 :=

n
∑

|xi |.

i=1

´ muchas veces escribiremos un vector columna
Por comodidad de notacion,
como x

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= (x1 · · · xn )t ∈ Rn .

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´
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Distancia entre vectores. Equivalencia de normas
Toda normasobre un espacio vectorial V induce una distancia:

dist(v, w) := ∥v − w∥,
´ {v n }n∈N
Una sucesion

v, w ∈ V.

⊂ V converge a v ∈ V si dist(v n , v) → 0:

vn → v

⇐⇒

∥v n − v∥ → 0.

Dos normas ∥ · ∥∗ y ∥ · ∥• sobre un espacio vectorial V son equivalentes si
existen constantes C1 y C2 tales que

C1 ∥v∥∗ ≤ ∥v∥• ≤ C2 ∥v∥∗

∀v ∈ V.

´ finita son
Teorema. Todas las normas sobre un espacio dedimension
equivalentes.
Corolario. Si ∥ · ∥∗ y ∥ · ∥• son dos normas cualesquiera en un espacio de
´ finita, entonces
dimension

∥v n − v∥∗ → 0
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⇐⇒

∥v n − v∥• → 0.
´
DIM – Universidad de Concepcion

Normas matriciales inducidas.
Toda norma vectorial ∥ · ∥ sobre Rn induce una norma matricial sobre Rn×n
(espacio de matrices cuadradas n × n):

∥A∥ :=

∥Ax∥
,
: x̸=0 ∥x∥

m´
ax
n

x∈R

A ∈Rn×n .

´ verificar que esto define efectivamente una norma sobre Rn×n .
Es facil
Esta norma se dice que es una norma matricial inducida por la norma
vectorial y se denota con el mismo s´ımbolo que la norma vectorial.
´ Toda norma matricial inducida por una norma vectorial satisface
Proposicion.
las siguientes propiedades:

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∥Ax∥ ≤ ∥A∥ ∥x∥

∀A ∈ Rn×n , ∀x ∈ Rn

∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥

∀A, B∈ Rn×n

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(compatibilidad),

(submultiplicatividad).

´
DIM – Universidad de Concepcion

Normas matriciales
´ sencillas de calcular algunas de las normas matriciales mas
´
Hay formas mas
usuales.

= (aij ) ∈ Rn×n . Entonces:


∑
´
|aij | (maxima
= m´ax 
suma de filas).

´ Sea A
Proposicion.

• ∥A∥∞

1≤i≤n


• ∥A∥1 = m´ax 
1≤j≤n

1≤j≤n

∑



´
|aij | (maxima
suma de columnas).

1≤i≤n

√(
)
t
• ∥A∥2 = ρ A A (norma espectral).

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´
DIM – Universidad de Concepcion

Valores y vectores propios
∈ C es
un valor propio (o autovalor) de A si existe un vector no nulo, v ̸= 0, tal que
´ Dada una matriz cuadrada A, diremos que un numero
Definicion.
λ
´

Av = λv.
A v se le llama vector propio (o autovector) asociado al valor propio λ.
´ si es ra´ız de la ecuacion
´caracter´ıstica
λ es un valor propio si y solo

det(A − λI) = 0.
´ El espectro de A es el conjunto de todos sus valores propios:
Definicion.

{
}
σ(A) := λ ∈ C : λ es un valor propio de A .

´
´
´ El radio espectral de A es el maximo
Definicion.
modulo
de sus autovalores:

ρ(A) := m´ax |λ|.
λ∈σ(A)

Teorema. Si A

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t
´
∈ Rn×n es simetrica
(A = A), entonces ∥A∥2 = ρ (A).

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´
DIM –...