T student

D

istribución t de Student

x n

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media  y varianza  2 . Si x es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra es una distribución normal estándar.

aleatoria, entonces la distribución Z 

Supóngase que la varianza de la población  2 es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si sereemplaza  por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta. La Distribución de Probabilidad t de Student se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gossett. En esa época, Gosset era empleado de la Guinness Brewery en Dublín, Irlanda; una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados, con su propio nombre. Para evadiresta prohibición, publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de “Student”. En consecuencia, la distribución t normalmente se llama Distribución t de Student, o simplemente Distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones nonormales que poseen distribuciones en forma casi de campana aún proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribución t. La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Únicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas.

M.C. Rosario Cruz Guerrero.

1El uso de la distribución t requiere siempre que el tamaño de la muestra sea de 30 o menor y que la desviación estándar de la población no sea conocida. Además, al utilizar la distribución t, suponemos que la población es normal o aproximadamente normal. Propiedades de la distribución t de Student:  La función de densidad de la distribución t es:

 n 1 n 1    x 2  2 2  fT ( x )  1    n  n     n  2 
 Es de media cero, y simétrica con respecto a la misma; En la figura se puede ver la comparación entre las funciones de densidad de t1 y la normal (0,1)

 



Para tamaños de muestra mayores de 30, la distribución t se asemeja tanto a la normal que utilizaremos a esta última para aproximar a la distribución t. La distribución t tiene, proporcionalmente,más porcentaje de su área en los extremos que la distribución normal; ésta es la razón por la cual será necesario alejarse más de la media de una distribución t para poder incluir la misma área bajo la curva. Los anchos de intervalo de una distribución t, por tanto, son mayores que los que están basados en la distribución normal. Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n  30 tomada deuna población normal con medía  y varianza s 2 , entonces:

t

x s n

La tabla t es más compacta y muestra áreas y valores de t solamente para algunos porcentajes (10, 5, 2 y 1%). Debido a que hay una distribución t diferente para cada número de grados de libertad, una tabla más completa sería bastante grande, Si estamos haciendo

M.C. Rosario Cruz Guerrero.

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cálculos yqueremos estar 90% de que son correctos buscaríamos en la tabla t en la columna encabezada con el valor 0.10 (100% - 90% = 10%). Esta probabilidad de 0.10 de tener error se representa con el símbolo , la letra griega alfa. Encontraríamos los valores t apropiados para valores 1- de 95%, 98% y 99% en las columnas alfa encabezadas por los valores 0.05, 0.02 y 0.01, respectivamente. Al utilizar la tabla tdebemos especificar los grados de libertad con los cuales estamos tratando. Suponga que hacemos cálculos y se quiere estar 90% seguros de ello, con una muestra de tamaño 14, que tiene 13 grados de libertad. Se busca en la tabla t en la columna encabezada por el valor 0.10 hasta que se encuentre la hilera etiquetada con 13. Del mismo modo que con un valor Z, el valor encontrado en ese sitio,...