y la muerte me llamo

GUIA DE EJERCICIOS
MATEMATICAS 3
La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique
los temas dictados en matemáticas 3. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan
de la dificultad del curso sin embargo son importante para ampliar más el conocimiento
de los temas. Los temas que se aprecian en la guía son:
1. Matrices. Operaciones con matrices. Ejemplos.2. Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Operaciones elementales de fila.
Matriz escalonada, escalonada reducida. Métodos de Gauss y Gauss-Jordan
3. Sistemas con una solución, con infinitas soluciones e inconsistentes; Sistemas
homogéneos y no homogéneos.
4. Matriz identidad. Matriz invertible. Cálculo de la inversa de una matriz;
Matrices equivalentes por fila. Matriz transpuesta,matriz simétrica.
5. Determinantes. Propiedades. Determinantes de A-1. Adjunta de una matriz.
Cálculo de la matriz inversa usando la adjunta.
6. Coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio. Vectores en el plano y en
el espacio.
7. Producto escalar. Proyecciones ortogonales. Producto vectorial.
8. Rectas y planos en el espacio.
9. Espacios vectoriales. Subespacios.
10. Combinación linealy espacio generado. Independencia lineal.
11. Base y dimensión. Rango, nulidad. Espacio fila y espacio columna.
12. Proyección ortogonal. Bases ortonormales. Algoritmo de Gram-Schmidt.
13. Producto interno (definiciones y ejemplos).
14. Transformaciones lineales. Imagen y núcleo.
15. Matriz asociada a la base canónica.
16. Autovalores y autovectores.
17. Matrices similares.Diagonalización.
18. Matrices reales simétricas. Diagonalización ortogonal.
19. Formas cuadráticas y secciones cónicas.

La guía consta con más 330 ejercicios.

1

GUIA DE EJERCICIOS “ALGEBRA LINEAL”.

INDICE.
TEMA

PAG

Primera Parte
SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES E INVERSA

3

DETERMINANTES, COFACTORES

4

MAS EJERCICIOS

5

EJERCICIOS DE PARCIALES

6

CLASE DE REPASO PRIMERPARCIAL

7

Segunda Parte
VECTORES EN EL ESPACIO, RECTAS, PROYECCIONES Y PLANOS

11

ESPACIO VECTORIALES, SUBESPACIO

13

COMBINACION LINEAL.

16

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

18

BASE Y DIMENSION

19

REPASO SEGUNDO PARCIAL

20

Tercera Parte
ESPACIO NULO, IMAGEN, NULIDAD Y RANGO

24

PRODUCTO INTERNO

25

GRAM-SCHMIDT

27

PROYECCION ORTOGONAL YCOMPLEMENTO ORTOGONAL

28

TRANSFORMACION LINEAL

29

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

33

DIAGONALIZACION DE MATRICES

34

REPASO TERCER PARCIAL.

36

SOLUCION A LOS EJERCICIOS

41

2

SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES E INVERSAS.
1.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.
. − 2
−

+
+ + =0
− + 2 = 0 . − 4 −
+4 + =0
6 +−2 + + =2
3 + 2 − 2 = −8
. −
. −
4 − − =1
5 +3 − =0

− =7
+5 =4
+ 3 = 18

−2 + 7 = 0
+2 − +4 =0
3 − +5 =0
4 +2 +3 =0

2.- Determine los valores de las constantes para que el sistema sea;
a.- Inconsistente.
b.- Consistente
. −
. −

2

3

2

!" # $


% "

+3 − =
2 − 6& = −6
− +3 =
. − 2 + ' − & =−2
+ 2' + & = 1
+7 −5 =
+

+2 +2 =1
2 =2
+3 +
+2 =3
( + 1) =
+4 +2 +

2 −3 +5 =0
. − − + 7 − = 0
4 − 11 + * = 0

3.- Realice los cálculos pedidos.
1 −1
Sea + = ,3 4
0 1

2
0 2 1
0
5 - ; / = ,3 0 5- ' 0 = ,3
−1
7 −6 0
0

0
1
−2

2
04

. − + − 2/ . − 2+ − / + 20 . − 40 − 2/ + 3+
. − 3+ − 0 !. − 3+ − 0 + 3/$. − 2/ − 30 + +

3

4.- Determine los productos
3
. − 1
−6

2
4

1
. − 1
3

1
2 −3
1 −22 344
. − ,1 0
0
0 3
2 3
2

4 −2 0
21
0 4
2

1
1
2 . − ,0
3
0

1 4
5
6- ,−2 3
1 0
1

0 0 3 −2
1 0 - ,4 0
0 1 5 1

6
54

1
69

5.- Determine si las matrices son invertibles, en caso afirmativo halle la inversa.
2
....