Álgebra De Funciones Derivables I

Álgebra de funciones derivables I
En este apartado podrás encontrar una conclusión sobre la derivabilidad, algunos ejemplos de funciones derivables y los teoremas sobre álgebra de funciones derivables.
¿Qué debe ocurrir para que una función sea derivable en un punto a?
1) En primer lugar ya sabemos que debe ser continua en a.
2) Pero además, que exista el límite del cociente de Newton y enconsecuencia, que se pueda trazar la recta tangente a su gráfica en el punto (a,f(a)).
¿Cómo es una función derivable?

Definición: Una función es derivable, si es derivable en todos los puntos de su dominio. Así, una función derivable, en primer lugar debe ser continua en todos los puntos de su dominio y tener una gráfica "suave", de tal manera que en todos sus puntos sea posible trazar una rectatangente.
Teorema 1 (La derivada de una función constante es cero)


Demostración: Q.E.D.
Teorema 2 (La derivada de la función idéntica es 1)


Demostración: Q.E.D.
Teorema 3 (Derivabilidad de la suma)



Teorema 4 (Derivabilidad del producto)



Teorema 5 (Derivada de una constante por una función)



Teorema 6 (Derivada de la idéntica a la potencia n)


Derivadas de orden superior

Si f es unafunción derivable, entonces su derivada f ' es a su vez una función, que puede o no ser derivable. Si lo es, entonces, se produce otra función, la derivada de la derivada de f y así sucesivamente. Por ello, es posible definir de manera recursiva las derivadas de orden superior:



Las derivadas de las funciones polinomiales

Con los teoremas vistos en este apartado y con la definición recursiva delas derivadas se tiene una primera conclusión sobre las derivadas de un polinomio:

Es decir, las funciones polinomiales son derivables y sus derivadas también y así sucesivamente. Como la derivada enésima es constante, de ahí las demás son cero. Como veremos más adelante, hay funciones cuya derivada no siempre es derivable.





Regla de la cadena
En cálculo, la regla de la cadena es unafórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Descripción de la regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razónde cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Descripción algebraica
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en , entonces la función compuesta es diferenciable en y

Notación de Leibniz
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de lacadena puede expresarse como:

donde indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.
Demostración de la regla de la cadena
Sea

Esto es entonces


Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre (esta demostración solo vale cuando es distinto de cero , por ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)


CQD(Como QueríaDemostrarse)
Ejemplos de aplicación
Ejemplo conceptual
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempotranscurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Ejemplo algebraico
Por ejemplo si es una función derivable de y si además es una función derivable de entonces es una función derivable con:


o también

Ejemplo 1


y queremos calcular:

Por un lado tenemos:
y
si:

entonces:

Si definimos como función de función:


resulta que:


con el mismo resultado....