Álgebra Lineal

algebra lineal5.2- Núcleo e imagen de una transformación lineal

Si  es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

* Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
* El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:1.  dado que T(0V) = 0W
2. Dados 
3. Dados 
* Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

* O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
* El rango deuna transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

5.3.- La matriz de una transformación lineal

Según la teoría de Brevis-Devaud. Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, alvector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))

5.4- Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.
Se aplican en sistemasde ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.
Rotación por un ángulo Ө
Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2
en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vectorT(u)=(v1,v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
* Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө - sen α ٠ sen Ө )
v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө )
Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u|| sen α
tenemos que:
v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө
v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө
Por lotanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2
tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө
y es lineal, ya que:
T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 )
= ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө)
= (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө+ u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө)
= T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)
Reflexión sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R^2 en R^2 que cada vector u = (u1 , u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (u) = ( v1 , v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
↑→
En este caso, la situación es mássencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
T(u1 , u2)=(u1 , - u2)
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T[(u1 , u2)+ λ (v1 , v2)] = T(u1 + λ v1 , u2 + λ v2)
=(u1 + λ v1 , - u2 - λ v2)
=(u1 , - u2) + λ (v1 , - v2)
T=(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)

6.1-Definición de valores yvectores característicos de una matriz cuadrada
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una...