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Índice de contenidos
Portada……………………………………………………………………. 0
Índice…………………………………………………….………………… I
Plan de Trabajo………………………………….…………………..... II
Introducción…………………………………………………………… 1
Capítulo I:
Isoclinas y Campos de Direcciones………………………….... 2
Isoclinas……………………………………………………………......… 2
Representación gráfica de campo de direcciones………. 4
Aplicación de Isoclinas.…………………………….………………. 6
EjerciciosPropuestos……………………………………………….. 8
Capítulo II:
Métodos de Euler……………………………………………………... 9
Solución Analítica……………………………………..……………. 11
Solución Numérica………………………………………………… 12
Ejercicios Propuestos……………………………………………. 14
Conclusiones………………………………………………………….
Recomendaciones…………………………………………………..
Bibliografía………………………………………………………………

II

Plan de Trabajo
1. Tema: Isoclinas, Campos de Acción y Método de Euler
2.Objetivos:
2.1 General: Evaluar la utilidad de los métodos de las
isoclinas y Euler para resolver ecuaciones diferenciales.
2.2 Específicos: Aplicar los métodos mencionados, para la
resolución de ecuaciones diferenciales.
Perfeccionar el uso del cálculo diferencial e integral.
3. Planteamiento del Problema:
La resolución analítica de ecuaciones diferenciales por los
métodos más usuales: variablesseparables, ecuaciones
homogéneas, ecuaciones exactas, ecuaciones lineales; puede
llegar a ser muy complicada. Por lo cual hay que buscar métodos
alternativos para poder resolverlas.
4. Posible Solución al Problema:
El uso del método de las isóclinas (método gráfico), y del método
de Euler (método analítico); son otros caminos por los cuales se
puede resolver ecuaciones diferenciales. Laaplicación correcta
de ellos, nos facilitará la deducción de una ecuación diferencial.
5. Metodología:
5.1 Tipo de Investigación: Exploratoria
5.2 Métodos: Científico; Deductivo.
6. Calendarización:
6.1 Fecha de Entrega: 21 de febrero de 2013
III

Introducción
Una ecuación diferencial no necesita tener una solución, y aun si la tiene, no siempre
podemos expresarla en forma explícita o implícita; en muchoscasos tendremos que
contentarnos con una aproximación.

Métodos Clásicos de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Variables Separadas
Las ecuaciones en variables separadas son las más sencillas de integrar y, a la vez, las más
importantes, ya que cualquier otro método de resolución se basa esencialmente en
aplicar diversos trucos para llegar a una ecuación en variables separadas.
Sonde la forma

g(x) = h(y)y′

Formalmente, se separa g(x) = h(y)dy/dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra.
Ecuación de la forma y′ = f(ax + by).
El cambio de función y(x) por z(x) dado por z = ax + by la transforma en una de variables
separadas.
Homogéneas
Son de la forma

y′= f(y/x)

Se hace el cambio de función y(x) por u(x) mediante y = ux, transformándose así la E. D. en
una de variablesseparadas.
Ecuaciones Exactas
Son las de la forma P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
es decir, y′ =(dy/dx) = −P (x,y)/Q(x,y), que cumplen Py = Qx. Se busca una función
F(x, y) tal que dF = ω = P dx+Q dy, y la solución de la E. D. es F(x, y) = C
Ecuaciones Lineales
Son de la forma y′+ a(x)y = b(x).
La solución general de la E. D. lineal es

1

ISOCLINAS Y CAMPOS DE DIRECCIONES
Resolver una ecuación diferencialanalíticamente puede ser difícil o casi imposible. Sin
embargo, existe una aproximación gráfica que se puede usar para aprender mucho acerca
de la solución de una ecuación diferencial.
Se trata de uno de los métodos para resolver varias clases de ecuaciones diferenciales de
manera gráfica mediante la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales y
sus soluciones; para metodología es útilanalizar las ecuaciones de la forma:
= ( , )
Cuya solución es una función

= ( ) . Geométricamente, en la ecuación se afirma que,

en cualquier punto ( , ) la pendiente (

/

) de la solución en ese punto está dada por

( , ). Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento rectilíneo que pase por el
punto ( , ) con la pendiente ( , ). La colección de todos esos segmentos rectilíneos se...