02 Sucesiones primera parte 2012

ANALISIS MATEMATICO
RESUMEN DE LA CLASE DEL
4 DE ABRIL DE 2012
Sucesiones
ƒ

Dos problemas a modo de presentación
o Un ejemplo biológico
(Ver Guzmán, Miguel, Matemática I, pág 221)
El siguiente modelo de la evolución de la población de una colonia de
insectos se ajusta bien a la realidad. Con una adecuada escala de medida,
la población de cada período ( pn +1 ) se obtiene a partir de la delperíodo
anterior ( pn ) mediante la expresión
pn +1 = rpn (1 − pn )
Aquí r es una constante entre 0 y 4 que mide la vitalidad de la población.
Con la escala elegida la población se mantiene siempre entre 0 y 1. El 0
indica la extinción y el 1 un tope para la población imposible de superar
por las condiciones del habitat.
Veremos que cuando la vitalidad r es pequeña (menor que 1), la
población estácondenada a la extinción. Es decir pn → 0
o La raíz cuadrada de a.
(Ver Apunte teórico, Números reales, sucesiones y series, pág 35)
El problema consiste en encontrar un algoritmo que calcule la raíz
cuadrada de un número dado (por ejemplo 2 ), utilizando sólo las
cuatro operaciones básicas.
La solución al problema se basa en una idea geométrica:
Se construyen sucesivos rectángulos todos de área 2. Labase de cada uno
de ellos es el promedio de la base y la altura del anterior.

2

2

1, 4118

1, 5

....

1

1+ 2
2

= 1, 5

1, 5 +

2
1, 5

2

x1 +
Así, si x1 = 1 , resulta x2 =

2
x1

x2 +

2
x2

= 1, 4167

xn +

2
xn

,…. xn +1 =
= 1,5 , x3 =
2
2
2
Geométricamente se observa que los rectángulos se van aproximando a
un cuadrado de área 2, por lo cual las bases xn se van aproximando al
lado delcuadrado de área 2, es decir xn → 2 .

ƒ

Ejemplos de sucesiones
(Ver Apunte teórico pág. 16)
Consideramos los siguientes ejemplos:
1 1 1
1. 1, , , ,...
2 3 4
2. 1,3,5, 7,...
1 1 1 1
3. − , , − , ,...
2 4 8 16
1 2 3 4
4.
, , , ,...
2 3 4 5
5. 0,1, 0,1,...
6. 2, − 4, 6, − 8,...

ƒ

Definición de sucesión
Una sucesión es una función a : ` → \ , se escribe a (n) = an . Nos interesará el“comportamiento” de an para “valores grandes” de n.
o Término general
ƒ Es la expresión de an para cada n. En los ejemplos
1
1.
an =
n
2.
an = 2n − 1
1
an = (−1) n n
3.
2
n
an =
4.
n +1
0 si n es impar
5.
an = 
1 si n es par
6.
an = (−1) n +1 2n
o Representación gráfica.
Como una sucesión es una función admite una representación gráfica. En
los ejemplos:
1.
1

12
13
14

1n
1

2

3

4

Para más ejemplos verApunte teórico pág. 17.

n

ƒ

Noción de límite
o Definición: Se dice que an tiene límite L si,
cualquiera sea ε > 0 , existe un número natural n0 tal que si n ≥ n0 ,

entonces L − ε < an < L + ε (o sea an − L < ε si n ≥ n0 )
Se escribe lim an = L
n →∞

L+ε

ε

L
L −ε

n0
A partir de n0 la franja verde capta a todos los an
También se dice en tal caso que an ∈ ( L − ε , L + ε ) para casi todo n(pctn).
En general, una propiedad vale para casi todo n si vale para todo n salvo un
número finito de valores de n.
o ¿Cómo funciona la definición?
La mayoría de las veces, el problema consistirá en calcular el valor de
lim an . La definición no será útil para ello porque presupone conocer el
n →∞

valor de L. En el Apunte teórico, pág 29, se dan algunos ejemplos de
cómo funciona la definición delímite.
o Sucesiones divergentes
No todas las sucesiones convergen a un límite L ∈ \ . La sucesión del
ejemplo 2. diverge a más infinito (o tiende a más infinito) , la del ejemplo
5, oscila finitamente y la del ejemplo 6. oscila infinitamente. En el
Apunte teórico, pág 18, se dan las definiciones precisas.
ƒ

Propiedades del límite. Primeros resultados.
Las siguientes propiedades se deducen de ladefinición de límite y se
visualizan en el Apunte teórico pág. 20
o Unicidad del límite
Una sucesión no puede converger a dos límites distintos.
o Acotación de las sucesiones convergentes.
Si an es convergente, entonces el conjunto A = {an : n ∈ `} es acotado.
o Conservación de signo
Si an converge a un límite L mayor que cero, entonces la sucesión an es
mayor que cero para casi todo n. Es decir...