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´
METODO
DE EULER

1. Fundamento del M´
etodo
El objetivo es desarrollar un algoritmo num´erico para resolver el problema de valores iniciales
y (x) = ϕ(x, y),

y(a) = ya ;

x ∈ [a, b]

(1)

siendo ϕ(x, y) una funci´
on acotada, continua en la variable x y lipschitziana en la variable y en el dominio [a, b].
Consid´erese en principio el domino [a, b] discretizado en n + 1 puntos equiespaciados:xi = x0 + ih,

i = 0, n;

siendo el espaciado h
h=

x0 = a

(2)

b−a
n

(3)

El punto de partida lo constituye el desarrollo en Serie de Taylor de la funci´
on y(x) en el punto xi+1 de la
discretizaci´on del dominio
y(xi+1 ) = y(xi ) + y (xi )(xi+1 − xi ) +
esto es, dado que xi+1 = xi + h

y (xi )
(xi+1 − xi )2 + . . .
2!

y(xi+1 ) = y(xi ) + y (xi )h + Θ(h2 )

(4)

(5)

2

2

donde Θ(h ) denotalos restantes t´erminos del desarrollo en serie que dependen del factor h y/o de potencias superiores
de h2 . Si en esta expresi´on se despeja la derivada primera:
y (xi ) =

y(xi+1 ) − y(xi )
− Θ(h)
h

(6)

y(xi+1 ) − y(xi )
− ϕ(xi , y(xi )) − Θ(h).
h

(7)

y restando en ambos miembros ϕ(xi , y(xi )) resulta
y (xi ) − ϕ(xi , y(xi )) =

Si a continuaci´
on se impone que se satisfaga la ecuaci´ondiferencial en cada punto xi , esto es,
y (xi ) − ϕ(xi , y(xi )) = 0,

i = 1, n

(8)

resulta que debe satisfacerse
y(xi+1 ) − y(xi )
− ϕ(xi , y(xi )) − Θ(h) = 0,
h

i = 1, n.

(9)

El t´ermino −Θ(h) es el “Error de Truncamiento Local del Algoritmo” y se denota como τi (h). A la vista
de la dependencia del orden con h podemos afirmar que el M´etodo de Euler es de primer orden.
La expresi´on (9) esequivalente a
y(xi+1 ) = y(xi ) + hϕ(xi , y(xi )) + hτi (h),

i = 0, n.

(10)

El algoritmo del M´
etodo de Euler consiste en obtener una aproximaci´
on a la soluci´on a la ecuaci´on (10) al
considerar τi (h) = 0, resultando

yi+1 = yi + hϕ(xi , yi ),

i = 0, n;

y0 = ya

(11)

2. Consistencia del M´
etodo
El M´etodo de Euler es consistente ya que, cuando el tama˜
no de la discretizaci´on h tiende a0, el error local de
truncamiento (τi (h) = −Θ(h)) tambi´en tiende a cero, es decir,
τi (h) → 0

cuando h → 0,

∀i = 0, n.

(12)

3. Convergencia del M´
etodo
Vamos a analizar el “Error Global de Truncamiento” o “Error Discretizaci´
on” (eTi ), esto es la diferencia entre la
soluci´on anal´ıtica y la soluci´on aproximada que proporciona el algoritmo de Euler dado por (11).
Denotaremos por zi alerror de truncamiento

eTi

eTi

como

≡ zi = y(xi ) − yi

(13)

Si se restan las expresiones (10) y (11) obtenemos
zi+1 = zi + h(ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )) + hτi (h),

i = 0, n.

(14)

Dado que h > 0, si tomamos valores absolutos en los dos miembros, resulta
|zi+1 | = |zi + h(ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )) + hτi (h)|
≤ |zi | + h|ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )| + h|τi (h)|,

(15)

i = 0, n.

Dadoque la funci´
on ϕ(x, y) es, por hip´
otesis, lipschitziana en y, es decir
∃k > 0 tal que |ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )| ≤ k|y(xi ) − yi | = k|zi |,

∀i,

(16)

entonces (15) puede escribirse como
|zi+1 | ≤ (1 + hk)|zi | + h|τi (h)|,

i = 0, n.

(17)

Denominemos τ (h) al mayor de los errores de truncamiento locales, esto es
τ (h) = max|τi (h)|,

i = 0, n.

(18)

Si la igualdad (17) se aplica deforma recursiva para los valores de i, i − 1, y as´ı hasta 0 se obtiene
|zi+1 | ≤ (1 + hk)|zi | + hτ (h)
≤ (1 + hk)2 |zi−1 | + (1 + hk)hτ (h) + hτ (h)
...

(19)

≤ (1 + hk)i+1 |z0 | + (1 + (1 + hk) + . . . + (1 + hk)i )hτ (h)
Por lo tanto:
|zi+1 | ≤ (1 + hk)i+1 |z0 | +

1 − (1 + hk)i+1
hτ (h)
1 − (1 + hk)

(1 + hk)i+1
τ (h)
k
τ (h)
|z0 | +
k

≤ (1 + hk)i+1 |z0 | +
≤ (1 + hk)i+1

(20)

Por otraparte, si tenemos en cuenta que el error inicial (z0 = y(x0 ) − y0 ) es nulo ya que y(x0 ) = ya y y0 = ya , y
que se verifica la desigualdad
∀ξ ≥ 0, n ≥ 0,
(21)
0 ≤ (1 + ξ)n ≤ enξ ,
entonces la cota superior del error de truncamiento global del m´etodo de Euler es
|zi+1 | ≤

τ (h) (i+1)hk
e
k

(22)

A la vista del resultado anterior, es obvio que el error global de truncamiento del m´etodo tiende a 0...