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INTEGRALES DE L´INEA.

15. Calcular las siguientes integrales:
(a)

(x + y) ds donde σ es el borde del tri´
angulo con v´
ertices (0, 0), (1, 0), (0, 1).
C

x2 + y 2 ds donde σ es la circunferencia x2 + y 2 = ax (a > 0).

(b)
C

Soluci´
on
(a) El tri´angulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la
siguiente forma:
C1

:

x=t
(0 ≤ t ≤ 1);
y=0

C2

:

x=1−t
(0 ≤ t ≤1);
y=t

C3

:

x=0
(0 ≤ t ≤ 1).
y =1−t

Calculamos en cada tramo el m´
odulo del vector velocidad:
σ1 (t)

=

(t, 0) =⇒ σ1 (t) = (1, 0) =⇒ |σ1 (t)| = 1;

√
σ2 (t) = (1 − t, t) =⇒ σ2 (t) = (−1, 1) =⇒ |σ2 (t)| = 2;
σ3 (t) = (0, 1 − t) =⇒ σ3 (t) = (0, −1) =⇒ |σ3 (t)| = 1.
Con estos datos, la integral de l´ınea se calcula como sigue:

(x + y) ds =
C

(x + y) ds +
C1
1

=

1

t dt +
0

(x + y) ds +
C20

√

(x + y) ds
C3

1

(1 − t) dt =

2 dt +

√

2 + 1.

0

(b) Si escribimos la circunferencia x2 + y 2 = ax de la forma (x − a/2)2 + y 2 = a2 /4, su
parametrizaci´
on viene dada por
C:

x = (a/2) + (a/2) cos t
(0 ≤ t ≤ 2π).
y = (a/2) sen t

De este modo,
σ (t) = (−a sen t/2, a cos t/2) =⇒ |σ (t)| = a/2.
1

Por tanto,
2π

x2 + y 2 ds

=

C

=
=
=

a2
a
(1 + cos t) · dt
2
2
0
√
2π √
2π
2
a
a2
1 −cos2 t
√
√
dt
1 + cos t dt = √
1 − cos t
2 2 0
2 2 0
2π
a2
√
(1 − cos t)−1/2 d(1 − cos t)
2 2 0
2π
a2
√ · 2(1 − cos t)1/2
= 0.
0
2 2

(x3 y + y 3 x/3) dx + ax2 dy, siendo C el contorno de la regi´
on definida por

16. Calcular
C

x2 + y 2 − 2ay < 0, y > a (a > 0).

Soluci´
on
El contorno del semic´ırculo indicado se descompone en dos curvas (el di´ametro inferior y la
semicircunferenciasuperior), cuyas parametrizaciones son las siguientes:
x=t
(−a ≤ t ≤ a); C2 :
y=a

C1 :

x = a cos t
(0 ≤ t ≤ π).
y = a + a sen t

Calculamos por separado la integral a lo largo de cada curva. En el caso de C1 , como
dx = 1, dy = 0, resulta:
a

(x3 y + y 3 x/3) dx + ax2 dy =

(t3 · a + a3 t/3) dt = 0.
−a

C1

En C2 , dx = −a sen t dt, dy = a cos t dt, de modo que:
(x3 y + y 3 x/3) dx + ax2 dy
C2
π

[a3cos3 t(a + a sen t) + a cos t(a + a sen t)3 /3] · (−a sen t) dt

=
0

π

a · a2 cos2 t · a cos t dt

+
−a5
3

=

0
π

(3 sen t cos3 t + 3 sen2 t cos3 t + sen t cos t + 3 sen2 t cos t
0
π

+3 sen3 t cos t + sen4 t cos t) dt + a4

cos3 t dt = 0.
0

(x3 y + y 3 x/3) dx + ax2 dy = 0.

En definitiva,
C

2

(y 2 + z 2 ) dx + (z 2 + x2 ) dy + (x2 + y 2 ) dz a lo largo de la curva C : x2 + y 2 = 2z,

17.Hallar
C

x + y − z + 1 = 0.

Soluci´
on
La curva dada es la intersecci´
on del paraboloide x2 + y 2 = 2z con el plano x + y − z + 1 = 0.
Si sustituimos el valor de z en la primera ecuaci´on, la curva se puede expresar como:
x2 + y 2 = 2x + 2y + 2
o bien C :
z =x+y+1

C:

la cual puede parametrizarse como:

 x = 1 + 2 cos t
y = 1 + 2 sen t
C:

z = 3 + 2 cos t + 2 sen t

(x − 1)2 + (y − 1)2 = 4
,z =x+y+1

(0 ≤ t ≤ 2π).

Sustituyendo estos valores y sus derivadas en la integral, resulta:
(y 2 + z 2 ) dx + (z 2 + x2 ) dy + (x2 + y 2 ) dz
C
2π

[(1 + 2 sen t)2 + (3 + 2 cos t + 2 sen t)2 ] · (−2 sen t) dt

=
0

2π

[(3 + 2 cos t + 2 sen t)2 + (1 + 2 cos t)2 ] · (2 cos t) dt

+
0
2π

[(1 + 2 cos t)2 + (1 + 2 sen t)2 ] · (−2 sen t + 2 cos t) dt

+
0
2π

(24 cos t − 24 sen t + 40 cos2 t − 40sen2 t + 24 cos3 t − 24 sen3 t) dt = 0.

=
0

18. Hallar las longitudes de los arcos de las siguientes curvas:
(a) x = 3t, y = 3t2 , z = 2t3 entre los puntos (0, 0, 0) y (3, 3, 2).
(b) y = a arc sen(x/a), z =

a a−x
ln
entre los puntos (0, 0, 0) y (x0 , y0 , z0 ).
4 a+x

Soluci´
on
−
Si la curva se parametriza por el vector de posici´on →
r (t), con t0 ≤ t ≤ t1 , la longitud viene
dada por la f´ormula
t1

|r (t)| dt.

=
t0

−
→
−
(a) En este caso, →
r (t) = (3t, 3t2 , 2t3 ), de donde r (t) = (3, 6t, 6t2 ) y |r (t)| = 3(1 + 2t2 ).
3

→
→
Teniendo en cuenta adem´
as que (0, 0, 0) = −
r (0) y (3, 3, 2) = −
r (1), resulta:
1

3(1 + 2t2 ) dt = 5.

=
0

(b) Si llamamos x = t, la curva se parametriza por
a a−t
−
→
σ (t) = t, a · arc sen(t/a), ln
, 0 ≤ t ≤ x0 .
4 a+t
De aqu´ı obtenemos:
−
→
−a2...