08SC Criterio De Ruth

Criterios de Estabilidad de
Routh y Jury
M.I. Ricardo Garibay Jimenez
2010

Criterio de Routh
Un polinomio

A( s )  a0 s n  a1 s n 1  ...  an 1 s  an

tiene raíces estables (con parte real negativa) si se cumplen 2
condiciones.
Necesidad
Suficiencia

 todos los coeficientes y son positivos
El signo de los coeficientes de la primera columna
del arreglo de Routh sea positivo.

Para elarreglo de Routh se tiene
sn
s n 1
s n 2


s0

a0
a1
b0
c0

b

c0 

a2
a3
b1
c1


 
 
 bP  1
 cP 1


b0 a 3  b1 a1
b0

an

donde

b0 

a1 a 2  a 0 a3
a1

b1 

a1a4  a0 a5
a1

En la tabla completa se observa el número de
raíces inestables como el cambio de signos
que presenta la primera columna del arreglo.

Ejemplo 1
3
2
Determinar si el polinomio A( s )  s  3s  3s  1 tieneraíces
inestables
s3 1 3

s2
s
s0

3 1
8
0
3
1

Al no tener cambios de signo en la primera columna se
concluye que no tiene raíces inestables y por lo tanto el
sistema es estable.
Ejemplo 2
3
2
Determinar si el polinomio A( s )  s  s  s  1

s3
s2

1
1

1
1

s

2

0

s0

1

tiene raíces inestables

Tiene raíces inestables, aunque esto puede ser
apreciado fácilmente ya que uno de loscoeficientes
del polinomio es negativo.
El arreglo de Routh nos permite ver dos cambios de
signo en la primera columna lo que significa dos
raíces inestables.

Aplicación de Control

Función de transferencia de malla

KC
( s  1) 3
Función de transferencia de malla cerrada

KC
Kc
C ( s)
( s  1)3

 3
KC
R( s )
s  3s 2  3s  (1  K c )
1
( s  1)3
El intervalo de valores K C  0 en el que los polos demalla cerrada son estables.

Criterio de Routh de Malla cerrada
A( s )  s 3  3s 2  3s  1  K c
s3

1

3

s2

3

1  KC

s
s0

8  KC
3
1  KC
Finalmente

0

8  KC
 0 , Kc  8
3
 1  K c  0 , K c  1



 1  KC  8
0  KC  8

Por Matlab se comprueba:
Con

K C 8

queda

A( s)  s 3  3s 2  3s  9

Observar el arreglo de Routh

s3
s2
s
s0

1
3
0: 
9

3
9
0

Cuando un término de laprimera columna resulta nulo y se requiere terminar el
arreglo de Routh lo que procede es asumir un número
positivo muy pequeño
para terminar de calcular el arreglo y con esto determinar todos los coeficientes

Conclusion
.
Si K C  8
se tienen 2 raíces inestables

Estabilidad en Sistemas de Control

La función de transferencia de malla

Gc ( s )G p ( s ) H ( s )

Y para la función de transferenciade malla cerrada

Si

Gc ( s )G p ( s ) H ( s ) 

Kc
K

( s  1) 3 s 3  3s 2  3s  1

La función de transferencia de malla cerrada
El intervalo de K c

s3
s2
s
s0

1

Gc ( s )G p ( s)
Y (s)

R( s ) 1  Gc ( s )G p ( s ) H ( s )

Y ( s)
Kc
 3
2
R ( s ) s  3s  3s  1  k c

donde el sistema de control de malla cerrada es estable

3

3
(1  k c )
 8  kc 
0


 3 
(1  k c )

Elintervalo de Kc donde los polos de malla cerrada son estables, es decir
se encuentran en el lado izquierdo del plano de Laplace
 1  Kc  8

Comprobando con Matlab
Entrada escalon
unitario

K c =1

Con K c =8

K c =10

Criterio de Jury

La función de transferencia de malla

Gc ( z )G p ( z ) H ( z )
La función de transferencia de malla cerrada
Gc ( z )G p ( z )
Y (s)

R( s ) 1  Gc ( z )G p ( z ) H( z )
En el plano Z los polos estables se encuentran en el interior de la circunferencia unitaria
centrada en el origen.

Criterio de Estabilidad de Jury para un polinomio

A( z ) a0 z n  a1 z n  1  ...  a n  1 z  an

El criterio define el numero de raíces de A(z) que se ubica dentro del circulo unitario del
plano Z. Se requiere que el coeficiente a 0 positivo
Condiciones

a0  0
A( z )z 1

0

El arreglo de coeficientes es el siguiente:
R1
R2

a0
b0

a1 a 2 a3
b1 b 2 L

R3 c0 c1 c 2 L
M M M M

L
L
cn  2

L
an
bn  1 0
0

bi  ai  an  i1
Donde

b0  a0  an1
b1  a1  an 11
bn  an  a01

0

c j  b j  b( n 1)  j 2
cn 1  0

an
1 
a0

bn 1
2 
b0

Conforme el grado del polinomio es mayor y ante la presencia de un
parámetro desconocido como la ganancia del...