Criterio Ruth

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Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptosbásicos.

EJERCICIO 5.1.

Estudiar la estabilidad del sistema cuya ecuación característica es la siguiente:
F(s)  s 5  s 4  10s 3  72s 2  152s  240

- No falta ningún término.
- No existe ningún coeficiente negativo.
Tabla de Routh:
s5
4

s
s3
s2

1

10

1
 62
70.6

s 122.6
s 0 240

152

72 240
 88 0
240
0
0
0

0
0

- 2 cambios de signo en 1ª columna:
2 raíces a la derecha  Inestable.
EJERCICIO5.2.

Estudiar la estabilidad del sistema cuya ecuación característica es la siguiente:

F(s)  s5  2s 4  2s3  4s 2  11s  10  0

- No falta ningún término.
- No existe ningún coeficiente negativo.
Tabla de Routh:
s5

1 2 11

4

2 4 10
0 6

s
s3
s2
s
s0

-Cambio s=1/x:
5

4

3

2

1
1
1
1
1
F(s)     2   2   4   11   10
x
x
x
x
x

1

Estabilidad

F( x ) 10x 5  11x 4  4 x 3  2 x 2  2x  1  0
F( x )  10x 5  11x 4  4 x 3  2 x 2  2x  1  0
s5

10

4

2

s

4

11

2

1

s

3

2.18

1 .1

s

2

 3.55

1

s

1.71

0

1

s

2 cambios de signo:
2 raíces a la derecha 

Inestable.

EJERCICIO 5.3.

Estudiar la estabilidad del sistema cuya ecuación característica es la siguiente:
F(s)  s 4  2s3  11s 2  18s  18  0

- No falta ningúntérmino.
- No existe ningún coeficiente negativo.
Tabla de Routh:
s4
s3
s2
s
s0

1 11 18
2 18
2 18
0 0

Ecuación auxiliar: 2s 2  10  0
Derivando: 4s  0  0
s 4 0
s 0 18
Estable.

2

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

EJERCICIO 5.4.

Calcular los valores de K y a que hacen estable al sistema definido por la siguiente
función:
1
M(s)  4
3
2
s  6s  11s  (K 6)s  Ka

Ecuación característica:
s 4  6s 3  11s 2  (K  6)s  Ka  0
Routh:
s4
s3

1
6

s2

K
6
6Ka
k6
10  K 6
Ka

s
s0

11
Ka
K6

10 

Ka

K y a deben tener igual signo.
10 

K6

K
 0  k  60
6

6Ka
 0  ( K  40) 
10  K 6

a  0.63

EJERCICIO 5.5.

Comprobar mediante Routh, para el sistema cuya ecuación característica es la siguiente,
que no tiene polos a la derecha del punto-1.
s3  4s 2  6s  4  0

Cambio z=s+1:
(z  1)3  4(z  1) 2  6(z  1)  4  0
z3  z 2  z  1  0

Routh:
z3

1 1

z2
z

1 1
0 0

3

Estabilidad

Ec. Auxiliar: z 2  1  0  2z  0  0
z3
z2
z
z0

1 1
1 1
2
1

No tiene polos a la derecha de –1.
Estable.
EJERCICIO 5.6.

Tenemos un sistema de control dado por la siguiente estructura:
E(s)

R(s) +

C(s)

k

G(s)

Y(s)

-

Donde:
G (s) 

s 2 2s  4
s3  s 2  2s  3

Calcular los valores de K que son límites de estabilidad del sistema.

La función de transferencia del sistema completo es:
K  G (s)
1  K  G (s)
La ecuación característica del sistema corresponde con el denominador de la función de
transferencia de lazo cerrado:
1  K  G (s)  0
M (s) 

1 K 

s 2  2s  4
0
s3  s 2  2s  3

s3  s 2  2s  3  K  (s 2  2s  4) 0
s3  (K  1)s 2  (2  2K )s  3  4K  0
s3
s

2

s

1

s0

1

2+2K

1+K

3+4K

2K 2  1
K 1
3+4K

4

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

Condiciones:
1) 1  K  0K  1

3
2) 3  4K  0K   K  0.75
4
3)

2K 2  1
1
 02K 2  1  0K   K  0.707
K 1
2

Luego los valores de K serán:

 0.75  K  0.707
K  0.707

EJERCICIO 5.7.

Calcular el rangode valores de K de un sistema con realimentación unitaria y con la
función de transferencia de lazo directo que se muestra, para que el sistema sea estable.
G (s) 

K (2s  1)
s(4s  1)(s  1) 2

La ecuación característica será:

1  G (s)  0
1

K (2s  1)
0
s(4s  1)(s  1) 2

s(4s  1)(s  1) 2  K (2s  1)  0
4s 2  9s3  6s 2  (2K  1)s  K  0
s4

4

6

s3

9

2K+1

s2

50  8K...