1 2

I.2
´
ELEMENTOS DE ALGEBRA
LINEAL
´Indice del cap´ıtulo.
§ Espacios vectoriales
§ Ecuaciones de un subespacio
§ Ret´ıculo de subespacios de un espacio vectorial
§ Aplicaciones lineales. Dualidad
§ Ejercicios

A. Castell´
on

´
ELEMENTOS DE ALGEBRA
LINEAL
En este cap´ıtulo se resumir´
an los rudimentos de ´
algebra lineal necesarios
para el desarrollo del curso. Apenas si se incluir´
andemostraciones pues la exposici´on se enfocar´
a a modo de recordatorio y con el fin de respetar el car´
acter
autocontenido del texto. Eso s´ı, como punto de partida se supondr´
a al lector
familiarizado con conceptos b´
asicos tales como espacio vectorial, dependencia
e independencia lineal, subespacios, bases y coordenadas, as´ı como todo lo
relacionado con la discusi´
on y resoluci´
on de sistemas deecuaciones lineales:
teorema de Rouch´e-Fr¨
obenius, sistemas homog´eneos, m´etodos de Gauss y de
Cramer, c´alculo matricial y teor´ıa de determinantes.

§1 Espacios vectoriales
En general, los cuerpos ser´an conmutativos y los espacios vectoriales
sobre ellos, de dimensi´
on finita. A los escalares se les denotar´
a por letras
griegas y a los vectores por latinas min´
usculas. Por < u1 , u2 , . .. , uk > se
entender´
a el subespacio engendrado por los vectores u1 , u2 , . . . , uk , esto es, el
conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores u1 , u2 , . . . , uk .

§1 Ecuaciones de un subespacio
A continuaci´
on se recordar´
an los distintos modos de determinar un subespacio. Sea V un espacio vectorial de dimensi´
on n sobre el cuerpo K y
supongamos que S es el subespacio con {u1 , u2 , . . . , uk }
un conjunto linealmente independiente de vectores. Entonces cada vector v
de S se expresa como
v = λ1 u1 + λ2 u2 + . . . + λk uk ,
para ciertos escalares λ1 , . . . , λk . A la expresi´
on anterior se le denomina
ecuaci´on vectorial de S. Su interpretaci´
on se basa en que variando los escalares por el cuerpo de todas las formas posibles seobtiene la totalidad de los
I.2-1

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva
vectores del subespacio. F´ıjese ahora una base {e1 , e2 , . . . , en } en V . Cada
ui (i ∈ {1, . . . , k}) poseer´a unas coordenadas (αi1 , αi2 , . . . , αin ) respecto de
dicha base. Esto no significa otra cosa que
ui = αi1 e1 + αi2 e2 + . . . + αin en .
Si v es un vector del subespacio S de coordenadas (x1 , x2 , . . . , xn), sustituyendo en la ecuaci´on vectorial y aplicando el principio de unicidad de la
expresi´
on de un vector en una base, se deducen las siguientes n igualdades

x1 = λ1 α11 + λ2 α21 + . . . + λn αn1 ,


 x2 = λ1 α12 + λ2 α22 + . . . + λn αn2 ,
..


.
xk = λ1 α1k + λ2 α2k + . . . + λn αnk ,
conocidas como ecuaciones param´etricas de S. Tambi´en se interpretan de
forma similar a la ecuaci´on vectorial: haciendo tomar a los par´
ametros λ1 , . . . , λk
todos los valores del cuerpo, se generan las coordenadas (x1 , x2 , . . . , xn ) de
cada uno de los vectores de S.
Por u
´ltimo, la matriz rectangular de orden (k + 1) × n
x1
 α11

α
A=
 .21
 ..


αk1

x2
α12
α22

...
...
...

αk2

...


xn
α1n 

α2n 



αkn

tiene rango k si y solamente si la primera fila es combinaci´
onlineal de las
dem´
as. Dicho de otra forma, el vector v de coordenadas (x1 , . . . , xn ) pertenece a S si y solo si rango(A) = k. Obs´ervese que las u
´ltimas k filas son
independientes pues eso mismo se supuso de los vectores u1 , . . . , uk . El´ıjase
pues un menor no nulo de orden k compuesto por elementos de las u
´ltimas k
filas y ´
orlese de todas las formas posibles para completar n − kmenores de
orden k + 1 . Ahora v pertenece a S si y solo si cada uno de esos n − k menores es nulo. En definitiva, los vectores de S quedan caracterizados porque
I.2-2

A. Castell´
on
sus coordenadas satisfacen un sistema lineal homog´eneo del tipo


β
x
+
.
.
.
+
β
x
=
0,


11
1
1n
n


..
.




β(n−k),1 x1 + . . . + β(n−k),n xn = 0,
ognitas. A la exprecompuesto por n − k ecuaciones...

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