1.5 ED de Bernoulli. (al menos 1 método de solución, 3 ejemplos)

1.5 ED de Bernoulli. (al menos 1 método de solución, 3 ejemplos)
Se utiliza para calcular la cantidad de fluido que pasa en un área dada en un determinado tiempo.

Es necesario:
• Acomodar laecuación en la forma básica.
• Sacar los valores de la ecuación.
• Poner la ecuación en términos de la diferencial.
• Sacar el factor integrante.
• Evaluar la ecuación con la formula y resolver losparéntesis.

Consideremos:

Su forma ordinaria:
(dy/dx) + P(x)y = Q(x) yn

Dividiendo la ED por el factor yn se tiene:
y-n(dy/dx)+P(x)y1-n=Q(x)

Al hacer las sustituciones:
z=y1-n(dz/dx)=(1-n)y-n (dy/dx)

Se llega a:
(1/1-n)(dz/dx)+P(x)z=Q(x)

Y en su forma estándar:
(dz/dx)+(1-n)P(x)z=Q(x)

Se lleva a la ED de Bernoulli a una ED lineal en la nueva variable z, la cualdeberá resolverse por el método de las ED lineales.

Ejemplo: dy/dx=y/x – x/y5
Escribimos de la forma estándar: (dy/dx)-(1/x)y=xy-5
Donde se identifican: P(x)=-1/x y n=-5
Dividiendo, entre y-5:(1/y-5)(dy/dx)-(1/x) y6=-x -> y5(dy/dx)-(1/x) y6=-x
Haciendo el cambio de la variable: z= y6 -> (dz/dx)=6 y5(dy/dx)
Se obtiene al sustituir: (1/6)(dz/dx)-(1/x)z=-x ->(dz/dx)-(6/x)z=-6x
La cual ahora es una ED Lineal en la nueva variable z.
e-6/x dx=e-6 ln x =1/x6
Por lo cual: d/dx [(1/x6) z]=-6/x5
d[(1/x6)z]=- (6/x5)dx -> (1/x6)z=(3/2x4)+C ->z=(3/2)x2 + cx6
Solución: y6=(3/2)x2 + cx6
Ejemplo:

3(1+x2)y’=2xy4-2xy -> 3(1+x2)y’+2xy=2xy4
Dividiendo por 3(1+x2)
multiplicando por y-4
z=y-3 dz/dx=-3y-4 dy/dx -1/3z’=y-4y’ sustituimos
multiplicamos por (-3) , es lineal
factor integrante
-> , integrando -> , constante

Pero z=y-3 =1/y3, entonces 1/y3=1+c(1+x2)-> solución -> .
Ejemplo
-> -> dividiendo por 2
Multiplicando por y2 w=y3 dw/dx =3y2 dy/dx 1/3 w’=y2y’
Sustituimos -> multiplicamos por...