1 Ecudepa

ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES
Enrique Zuazua
enrique.zuazua@uam.es

Contents
1 Introducci´
on y motivaci´
on

3

2 ¿Qu´
e es una ecuaci´
on en derivadas parciales?

5

3 El m´
etodo de Cauchy en EDO

7

4 Funciones anal´ıticas reales en varias variables

9

5 El
m´
etodo
no-caracter´ısticas*

de

Cauchy

y

las

superficies
11

6 El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya*

11

7 Caracterizaci´
on desuperficies no-caracter´ısticas

11

8 ¿Soluciones locales o globales?

17

9 Unicidad de soluciones
9.1 El Teorema de Holmgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 La soluci´on de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
23
27

10 La transformada deFourier
10.1 Definici´on y propiedades fundamentales
10.2 Aplicaci´on a la ecuaci´on de Laplace . .
10.3 Aplicaci´on a la ecuaci´on de transporte
10.4 Soluciones fundamentales . . . . . . . .

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11 La f´
ormulade variaci´
on de las constantes. Ecuaciones no homog´
eneas
1

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12 La ecuaci´
on de transporte lineal

42

13 La ecuaci´
on del calor
13.1 El problema de valores iniciales en R . . .
13.2 Propiedades elementales de la convoluci´on
13.3 El problema de valores iniciales en Rn . .
13.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . .

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14 La ecuaci´
on de Burgers

60

15 La ecuaci´
on de Burgers viscosa

65

16 Ecuaciones de convecci´
on difusi´
on: difusi´
on evanescente

66

17 La ecuaci´
on de ondas
17.1 La f´ormula de d’Alembert .
17.2 El problema de Dirichlet . .
17.3 Dimensi´on n = 3. Elm´etodo
17.4 Dimensi´on n = 2. El m´etodo

70
71
73
74
78

. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
de las medias esf´ericas . . .
del descenso de Hadamard .

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18 Comparaci´
on de la ecuaci´
on de ondas y del calor

78

19 Resoluci´
on de sistemas lineales mediante el M´
etodo Directodel C´
alculo
de Variaciones (MDCV)
80
20 Espacios de Hilbert

82

21 Introducci´
on a los espacios de Sobolev

87

22 El problema de Dirichlet en un dominio acotado
22.1 Principio del m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 El lema de Lax-Milgram y sus variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89
89
92

23 Ejercicios
23.1 Problemas de ecuacionesdiferenciales . . . . . . . . . . .
23.2 Problema de Cauchy y teorema de Cauchy-Kovalevskaya
23.3 La ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.4 La ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.5 La ecuaci´on de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.6 Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.7 Simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
2

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23.8 Distribuciones y espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
23.9 Ejercicios diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 135

1

Introducci´
on y motivaci´
on

Estas notas constituyen una breve introducci´on a la teor´ıa de las Ecuaciones en Derivadas
Parciales (EDP).
La forma en la que las EDP se presentan habitualmente en la modelizaci´on de fen´omenos
de la Ciencia y Tecnolog´ıa es la de modelos de evoluci´on en los que se describe la din´amica a
lo largo del tiempo de determinada cantidad o variable...