1 Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales
Ley interna
Dado un conjunto ! E . Definiremos una ley interna como toda aplicación (función) * definida
como sigue
!

E×E → E
( x, y ) → x * y

La aplicación tiene un elemento neutro ! e si existe ! e ∈E tal que ! ∀ x ∈E se cumple
! x *e = x = e* x
Observación: Este neutro es único.
Diremos que ! x ∈E tiene un inverso con respecto a la aplicación si ! ∃ y ∈E tal que
! y*x =e = x*y
−1

En general denotamos este inverso por ! x .
Observación: Si ! x tiene un inverso con respecto a la aplicación y esta aplicación es asociativa,
entonces este inverso es único.
Diremos que la aplicación es asociativa si ! ∀ ( x, y, z ) ∈E × E × E = E 3 se cumple
! ( x * y) * z = x * ( y * z)
Diremos que la aplicación es conmutativa si ! ∀ ( x, y ) ∈E × E = E 2 se cumple
! x*y = y*x .Ejemplos:
- Si ! E = ! y * = adición, entonces no hay neutro y por lo tanto tampoco existen inversos.

- Si ! E = ! y * = adición, entonces existen el neutro (0) y cada elemento ! x ∈! tiene un
inverso, que se denota por ! −x .
- Si ! E = ! y * = multiplicación, entonces existen el neutro (1), pero no podemos encontrar
inversos. Ocurre lo mismo si tomamos ! E = ! .

- Si ! E = M n ( ! ) y * =adición. Esta aplicación es conmutativa, asociativa, posee neutro e
inversos para todos los elementos

- Si ! E = M n ( ! ) y * = producto de matrices. Esta aplicación es asociativa, no conmutativa,
posee neutro (identidad) y algunos elementos tienen inverso.

! de !19
1

Grupos
Sea ! E un conjunto y * una ley interna sobre ! E tal que:
1) * tiene neutro
2) * es asociativa
3) todo elemento de ! E tieneinverso por *

Entonces diremos que ! E equipado con * es un grupo, que denotamos por ! ( E, *) .
Nota: Si ! ( E, *) es un grupo y ! * es conmutativa, se dice que ! ( E, *) es un grupo abeliano.
Ejemplos:

- ! ( !, + ) no es grupo (no hay neutro)
- ! ( !, + ) es grupo abeliano
- ! ( !, ⋅) y ! ( !, ⋅) no son grupo (faltan inversos)
- ! ( !, + ) es grupo abeliano
- ! ( !, ⋅) no es grupo (el cero notiene inverso)
- ! ( ! \ {0} , ⋅) es grupo abeliano
- ! ( M n ( ! ) , + ) es grupo abeliano
- ! ( M n ( ! ) , ⋅) no es grupo (problema de inversos)
- ! ( GLn ( ! ) , ⋅) es grupo
Subgrupo
Sean ! ( E, *) un grupo y ! F ⊂ E . Se dice que ! F es un subgrupo de ! E ! ( F < E ) si:
1) ! ∀ ( x, y ) ∈F × F , ! ( x * y ) ∈F (cerrado bajo la aplicación).
2) ! ∀ x ∈F

∃ x −1 ∈F

tal que ! x * x

−1

= e = x−1 * x . Esto implica también que el neutro

pertenezca a ! F

(

)

Si se tiene ! * F×F : F × F → F con ! ( x, y ) → x * y , entonces ! F, * F×F es grupo.
Ejemplos:

- ! ( !, + ) es subgrupo de ! ( !, + )
- ! ( !, + ) es un subgrupo de ! ( !, + )

! de !19
2

Proposición

Sea ! ( G, *) un grupo y sea ! F ⊂ G entonces

⎧F ≠ ∅

!F
⎪⎩∀ ( x, y ) ∈F × F

x * y −1 ∈F

Demostración
! (⇒ )

−1
Lacondición 2) dice que dado ! y ∈F , entonces ! y ∈F y como además la condición 1) dice que
−1
! F es cerrado bajo la aplicación, entonces dado ! x ∈F tenemos que ! x * y ∈F . Como ! x, y ∈F

son arbitrarios, concluimos que esto se cumple ! ∀ ( x, y ) ∈F × F .
! ( ⇐)
La primera condición nos asegura que ! F ⊂ G es no vacío. Ahora bien, tomando la segunda
−1
−1
condición con ! y = x , tenemos que ! x *x ∈F . Para poder decir que ! x * x = e , tenemos que

recordar que ! x ∈F ⇒ x ∈G ⇒ x .1 ∈G . Ahora, la aplicación operada para estos dos elementos
pero pensados en ! G nos permite concluir que ! x * x

−1

= e y por lo tanto que ! e ∈F .

Esto último nos permite reutilizar la segunda condición con ! x = e para concluir que ! e * y −1 ∈F .
Por lo mismo anterior, pensando en la aplicación con loselementos como parte de ! G ,
concluimos que ! e * y −1 = y −1 ∈F . Como esto se cumple ! ∀ y ∈F , entonces la segunda condición
de un subgrupo se cumple.
!!

Cuerpos
Sea ! K un conjunto no vacío equipado con dos leyes internas ! +, ⋅ tales que:
1) ! ( K, + ) grupo abeliano. El neutro por ! + se denota 0 y ! ∀ x ∈K , el inverso de ! x con respecto
a ! + se denota (! −x ).

(

)

2) ! K \ {0}...

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