11.- PRACTICA FV Y FVV 2014-II

NOLAN JARA J

1) Al borde de una piscina se desea construir un tobogán de hélice circular recto (su
 1
eje es el eje Z), la parte más baja es el punto f ( )  2,0,1 medida en metros cada
2


componente, es decir C : f (t ); t  2. Si f (1)  2,0,2  y el tobogán tiene sólo 3
vueltas. a. En el punto más alto del tobogán hay una plataforma, ¿a qué altura está
esta plataforma?Determine la ecuación paramétrica de C. c. Si el material para el
tobogán cuesta S/ 200 el metro, ¿cuánto se paga por el material necesario? R. (S/
7563,70 aprox.)
2) Se fabrica un resorte acerado de hélice cónica circular, el punto de la parte más
ancha está en una circunferencia de diámetro 3 cm, la parte más angosta está en una
circunferencia de diámetro 1 cm. La distancia entre estascircunferencias es de 4 cm.
a. Suponga que la forma del resorte se encuentra en un cono cuyo eje es Z y de vértice
el origen de coordenadas, halle la ecuación de dicho cono.

1

b. Si el inicio del resorte está ubicado en el punto f (1)   ,0,2  y la primera vuelta es
2

 3 3

f ( )   ,0,3  Proponga la ecuación paramétrica de la forma de este resorte.
2 4

c. Calcular lalongitud de este resorte. R. (25,5 cm aprox.)
Observación: Para estabilidad del resorte cónico se le incorpora en sus extremos con el
mismo material una circunferencia perpendicular al eje del cono, en la respuesta no se
ha considerado).


3) Dada la curva f (t ) , halle f (t ) y calcule la longitud de arco si:

f (t )  t 3 ; t 2 ; t 2 ;  1  t  3 En este ejemplo la curva no es regular en[-1, 3]
pero es por tramos, sin embargo las derivadas de cada componente son continuas
en el intervalo. Respuesta aproximada 32,017 unidades.


4) Dada la curva f (t ) calcular f (t ) y la longitud de arco si:

f (t )  t ; t  1 ; t ;  1  t  4 Esta curva no es regular en [-1 , 4] (es por tramos),
por otro lado no es diferenciable en t = 0, 1 (es diferenciable por tramos).

3
22
f
5) Dada la curva (t )  t ; t ; t ;  1  t  3 Al medir 3 unidades a lo largo de la
curva dada del extremo inicial nos encontramos en el punto Q, halle las
coordenadas de este punto, halle s(t), reparametrice la curva en función de la
longitud de arco.
6) Dada la curva f (t )  t ; t  1 ; t ;  1  t  4 Al medir 2 unidades a lo largo de la
curva dada del extremo inicial nosencontramos en el punto Q, halle sus
coordenadas de este punto, Halle s(t), reparametrice la curva en función de la
longitud de arco.
7) Una lámina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura T (en
grados centígrados) en el punto (x; y) es inversamente proporcional a la distancia
del punto (x; y) al origen. Describa las isotermas, Suponiendo que la temperatura
en el punto P(4 ; 3)es 40 grados centígrados, encuentre una ecuación de la
isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados.

1

NOLAN JARA J
8) Si f ( x, y )  16  4 x 2  y 2 , encuentre f x (1, 2) y f y (1, 2) e interprete estos números
como pendientes. Ilustre gráficamente.
9) Si f y g son funciones doblemente derivables de una sola variable, demuestre que la
función u ( x, t )  f ( x at )  g ( x  at ) satisface la ecuación de onda utt  a 2u xx .
10) Sea W ( s, t )  F (u (s, t ), v( s, t )) , donde F , u y v son derivables y
u (1, 0)  2
v(1, 0)  3
us (1, 0)  2

vs (1, 0)  5

ut (1, 0)  6

vt (1, 0)  4

Fu (2,3)  1

Fv (2,3)  10

Calcule W s (1 , 0 ) y W t (1, 0 ) .
11) El radio de un cono circular recto está aumentando a razón de 1.8 pulgadaspor segundo,
mientras que su altura está disminuyendo a razón de 2.5 pulgadas por segundo. ¿Con qué
rapidez está cambiando el volumen del cono cuando el radio es 120 pulgadas y la altura 140
pulgadas?
12) Suponga que la ecuación F ( x, y , z )  0 implícitamente define cada una de las variables
x , y y z como funciones de las otras dos: z  f ( x, y ) , y  g ( x, z ) , x  h( y, z ) . Si F...