119337746 Biseccion Y Newton Con Mathematica 1

Prácticas de Matemáticas con
Mathematica .
Fundamentos de Matemáticas III . Grado en Ingeniería
Civil.
Práctica nº 2. Métodos de resolución aproximada de
ecuaciones.

Departamento de Matemática Aplicada.
E.P.S. de Zamora
Universidad de Salamanca
Ejemplo 1: Halle las raices de la ecuación Cos[x]=x utilizando el método de bisección.
Definimos la función:

f x_ : Cos x

x

La orden Plot nos permitedibujar la gráfica de la función para tener una idea de dónde se encuentra la raiz (o
raíces):

Plot f x , x,

2, 2

1

2

1

1

2

1

2

La raiz está localizada en el intervalo 0,

Π
2

. Aplicaremos el método de bisección para hallar la raiz.El

punto de medio del primer intervalo corresponde a un valor donde la función toma valor negativo, así que el siguiente intervalo será el 0, Π4

f Pi 4N

0.0782914
Siendo L la longitud del intervalo inicial y Ε el error máximo que se quiere cometer al calcular la raiz, el
número de veces,n, que habrá que aplicar el método de bisección es:

2

2 FM III (24-9-2012) Bisección y Newton.nb

Siendo L la longitud del intervalo inicial y Ε el error máximo que se quiere cometer al calcular la raiz, el
número de veces,n, que habrá que aplicar el método debisección es:

Solve L 2^ n

1

Ε, n

Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so
some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.

Log 2

Ε
L

Log

n
Log 2

Particularizando para los valores de L Pi/2,Ε 10^(-6) obtenemos que el número de veces que hay que
aplicar el método de bisección es n=20.

Log 2

Ε
L

Log

. L

Pi 2, Ε

10^

6

N

Log 219.5831
Log 2, Pi 2 10^6

1

N

19.5831
Definimos la función bisección que a partir de un intervalo nos da el siguiente subintervalo donde se localiza
la raiz:

biseccion

a_, b_

: If f a f

a

b

0, a,

2
biseccion
Π
0,
4

0, Pi 2

biseccion

0,

a

b

, b,

2

a

b
2

Π
4

Π

Π
,

4

8

La obtención de la sucesión de subintervalos se puede obtener fácilmente con la orden NestList del Mathematica, hayque proporcionar un valor inicial para la función, en este caso el intervalo de partida {0,Pi/2}, y el número
de veces que se va a iterar, en este caso n=20, para obtener una aproximación con el error requerido de Ε 10^(-6).

NestList biseccion, 0, Pi 2 , 20
Π
0,

Π

Π
,

Π

4

4
15 Π

,

Π
,

,

3Π

Π
,

,

7Π

Π
,

,

15 Π

,
8
4 16
4 32
4
64
31 Π
61 Π
15 Π 121 Π
15 Π 241 Π
,
,
,
,
,
,
,
,
64128
64
256
64
512
64
1024
241 Π 481 Π
241 Π 963 Π
241 Π 1927 Π
,
,
,
,
,
,
1024
2048
1024
4096
1024
8192
1927 Π 3855 Π
1927 Π 7709 Π
7709 Π 15 417 Π
,
,
,
,
,
,
8192
16 384
8192
32 768
32 768
65 536
7709 Π 30 835 Π
7709 Π 61 671 Π
7709 Π 123 343 Π
,
,
,
,
,
,
32 768 131 072
32 768 262 144
32 768
524 288
123 343 Π 246 687 Π
123 343 Π 493 373 Π
,
,
,
524 288
1 048 576
524 288
2 097 152
2
15 Π

, 0,2 FM III (24-9-2012) Bisección y Newton.nb

3

Si sólo se quiere el intervalo final, es suficiente con utilizar la orden Nest en lugar de NestList.

intfinal
123 343 Π

Nest biseccion, 0, Pi 2 , 20
,

524 288

493 373 Π
2 097 152

La aproximación de la raiz buscada se obtiene como el punto intermedio del intervalo.

intfinal

ap

1

intfinal

2

N

2
0.739086
El valor de la función en el punto queacabamos de obtener es:

f ap

N

1.2419 10

6

Vamos a calcular la raiz con suficiente precisión mediante la orden FindRoot del Mathematica para poder
ver qué error cometemos con el método de bisección:

ra

x . FindRoot f x

0, x, 0.739 , WorkingPrecision

50

0.73908513321516064165531208767387340401341175890076
El error entre la raiz proporcionada por el Mathematica y la aproximación medianteel método de bisección
es menor que la tolerancia que exigimos al principio, como era de esperar.

ra

ap

7.4205 10

7

Ejemplo 2: Halle las raices de la ecuación Cos[x]=x utilizando el método de Newton.
Primero obtenemos la función de iteración g(x) a partir de la función f(x)=Cos[x]-x.

g x_
x

x

f x

x

Cos x

1

Sin x

f' x

Si proporcionamos un valor de arranque, x0, la aplicación...