16 DISTRIBUCIONES CONTINUAS T F Chi2

DISTRIBUCIONES TEORICAS
CONTINUAS

10

DISTRIBUCION
t (Student)
t → T(n)gl

-4

10

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Distribución t de Student
FUNCION DE DENSIDAD
𝐟(𝐱) =

𝐧+𝟏
𝚪
𝟐
𝐧
𝚪
𝐧𝛑
𝟐

𝟏+

𝐗𝟐

𝐧+𝟏
𝟐

−

-∞ < 𝒙 < ∞

𝐧

RESUMENES:

t → T(n)gl

𝐄 𝐱 = 0
𝐕 𝐱 =

03/02/2015

𝒏
𝒏−𝟐

n >𝟑

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

3

Grafico de la distribución t

𝐟(𝐱) =

03/02/2015

𝐧+𝟏
𝚪
𝟐
𝐧
𝚪
𝐧𝛑
𝟐

𝐧+𝟏

𝟏+

−
𝟐𝐗𝟐
𝐧

-∞ < 𝒙 < ∞

4

Otras definiciones:
La distribución t, con n grados de libertad, está dada por
la ecuación:

-4

03/02/2015

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

FUNCION DE DENSIDAD Y
DISTRIBUCION en Excel

-4

-3

𝐟(𝐱) =

-2

-1

𝐧+𝟏
𝚪
𝟐
𝐧
𝚪
𝐧𝛑
𝟐

0

1

𝟏+

2

𝐧+𝟏
−
𝟐
𝟐
𝐗

𝐧

f(x) =DISTR.T.N(x, gl, 0)
03/02/2015

3

4
-4

-3

-2

-1

0

1

2

𝐧+𝟏

𝐅(𝐱) =

𝒙 𝚪
−∞ 𝚪 𝐧
𝟐

𝟐

𝐧𝛑

𝟏+

3

𝐗

𝟐

𝐧

4

𝐧+𝟏

−𝟐

𝒅𝒙

F(x) =DISTR.T.N(x, gl, 1)
6

FUNCION DE DENSIDAD en Excel
Sea la variable aleatoria; t → T(12)gl Hallar la (x, f(x) ):
a)

(-1.5, f(−𝟏. 𝟓)) = ?
f( −𝟏. 𝟓) = DISTR.T.N(-1.5, 12, 0) = 0.1278657

.

(-1.5, f(−𝟏. 𝟓)) =

-1.5

b)

(-1.5, 0.1278657)

T

(0, f(0)) = ?

.

f(𝟎) = DISTR.T.N(0, 12, 0) = 0.390726

(0, f(𝟎)) =

( 0, 0.390726)

0
03/02/2015

7

FUNCION DE DENSIDAD Y PROBABILIDAD en ExcelSea la variable aleatoria; t → T(12)gl Hallar la probabilidad:
a)

P( T < −𝟏. 𝟓) = ?
P( T < −𝟏. 𝟓) = DISTR.T.N(-1.5, 12, 1) = 0.0797287

-1.5

b)

T

P( 𝟏 < T < 𝟐. 𝟓) = ?
P( 1 < T < 𝟐. 𝟓) = p
p = DISTR.T.N(2.5, 12, 1) - DISTR.T.N(1, 12, 1) = 0.154566
0

03/02/2015

a

b
8

RELACION DE LA FUNCION
NORMAL Y LA t DE STUDENT

x → N(µ, σ)

𝐟 𝐱 =

03/02/2015

x → T(n)gl

(𝐱−𝛍)𝟐

𝟏
−
𝟐𝛔𝟐
𝐞
𝟐𝛑𝛔

𝐟(𝐱) =𝐧+𝟏
𝚪
𝟐
𝐧
𝚪
𝐧𝛑
𝟐

𝟏+

𝐗𝟐

𝐧+𝟏
𝟐

−

𝐧

9

03/02/2015

10

03/02/2015

11

Función del Excel: DISTR.T( t, gl, 1)
P( t < T < ∞) =1- DISTR.T(t, n gl, 1)
a)

Hallar la p = P( T > 2) = ? Para 10gl.

P( T > 2) = 1- DISTR.T.N(2, 10, 1) = 0.036694
T10 gl

0
03/02/2015

t
12

Función del Excel DISTR.T.N( t, gl, 1)
b)

Hallar la p = P( t >1.25) = ? Para 15gl.

P( t >1.25) = 1- DISTR.T.N(1.25, 15, 1) =0.115225

T15 gl

0

03/02/2015

t

13

Función del Excel DISTR.T( t, gl, 1)
a)

Hallar la p = P(T < -2) o P( T > 2) para 10 gl.

P(T < -2) o P( T > 2) = 2DISTR.T.N(-2, 10, 1) = 0.073388

b) Hallar la p = P(T < -1.25) o P( T > 1.25) para 15 gl.
P(T < -1.25) o P( T > 1.25) = 2DISTR.T.N(-1.25, 15, 1) = 0.230

T15 gl

-t
03/02/2015

0

t
14

Función del Excel INV.N( p, gl )
t = INV.N(p, n gl )
a) Hallart, si P(T > t=?) = 0.036694 para n=10 gl.
t = INV.T(1-0.036694, 10 ) = 2
b) Hallar t, si P(T > t=?) = 0.115225 para n=15 gl.

t = INV.T(1-0.115225, 15 ) = 1.25
T15 gl

p
0
03/02/2015

t =1.25
15

Ejemplo:
Sea t con 10 gl. Hallar las probabilidades
sigueintes:
a.- P(t < - 2.0)

b.- P(t < 0)

c.- P(t < 1.5)

d.- P(t > -1.3)

e.- P(-1.25 < t < 1.25)

f.- P( -2.25 < t < -1.15)

03/02/2015

16DISTRIBUCION
Fisher
𝐟(𝐱) =

10

𝐧𝟏
𝐧𝟏 𝟐
𝐧 +𝐧
𝚪 𝟏 𝟐
𝐧𝟐
𝟐
𝐧𝟏
𝐧𝟐
𝚪
𝚪
𝟐
𝟐

𝐧

𝟏 −𝟏
𝐗 𝟐
𝐧
𝟏+ 𝟏 𝐗
𝐧𝟐

𝐧𝟏+𝐧𝟐

𝟐

0<𝐱<∞

Función de densidad de Fisher
F
Se dice que una variable aleatoria continua X se distribuye
según F con n1 y n2 grados de libertad y se representa por
F  F(n1,n2), si su función de densidad es:
F → F( 𝐧

𝐟(𝐱) =

𝐧𝟏
𝐧𝟏 𝟐
𝐧 +𝐧
𝚪 𝟏 𝟐
𝐧𝟐
𝟐
𝐧
𝐧
𝚪 𝟏 𝚪 𝟐
𝟐
𝟐

𝐗

𝟏,

𝐧𝟏
−𝟏
𝟐

𝐧
𝟏+ 𝟏 𝐗

𝐧𝟏 +𝐧𝟐

𝟐𝐧𝟐 )gl

0<𝐱<∞

𝐧𝟐

Donde n1 y n2, son números enteros positivos
03/02/2015

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Función de densidad de Fisher
F
Se demuestran, particular, que si U y V son dos
variables aleatorias, independientes tales que
UX2(n1) y VX2(n2) , entonces, la variable
aleatoria:
U
n
X 1
V
n2

F → F(𝐧

𝟏,

𝐧𝟐 )gl

Donde n1 y n2, son números enteros positivos

03/02/2015

19

Función de densidad de Fisher
F
Acontinuación mostraremos las graficas de las funciones de
densidad de Fisher:

𝐟(𝐱) =

𝐧𝟏
𝐧𝟏 𝟐
𝐧 +𝐧
𝚪 𝟏 𝟐
𝐧𝟐
𝟐
𝐧𝟏
𝐧𝟐
𝚪
𝚪
𝟐
𝟐

𝐧

𝟏 −𝟏
𝐗 𝟐
𝐧
𝟏+ 𝟏 𝐗
𝐧𝟐

𝐧𝟏 +𝐧𝟐

𝟐

0<𝐱<∞

Tiene distribución F con n1 y n2 grados de libertad.
03/02/2015

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FUNCION DE DENSIDAD en Excel
Sea la variable aleatoria; F → F(6, 10)gl

Hallar la (x, f(x) ):

(0.5, f(𝟎. 𝟓)) = ?

a)

.

F → F(6, 10)gl

f( 𝟎. 𝟓) =...