16

TRILCE

Capítulo

16

LOGARITMOS EN R

Función Exponencial

Función logarítmica

Siendo "b" un número positivo distinto de la unidad.

Siendo "b" un número positivo distinto de la unidad.
F : R  R / y  F(x)  Log b x

F : R  R / y  F(x)  exp b (x )  b x
Donde :

Donde :

DF   0 ;    R F  R

DF  R  R F   0 ;  

Análisis de la gráfica

Análisis de la gráfica :
1.

1.

F : F(x)  bx ; 0  b  1

F : y  F(x)  Log b x ; 0  b  1

y

y

1

1
x

x

La función es decreciente.
La función es decreciente.
2.

2.

F : y  F(x)  b x ; b  1

F : y  F(x)  Log b x ; b  1

y
y

1

1

x

x
La función es creciente.
La función es creciente.
Observación : La función exponencial es monótona e
inyectiva, por lo último se afirma que dicha función admite
inversa.

Observación : Lafunción logarítmica es la inversa de la
función exponencial y viceversa.
Logaritmo (Log)
Se define logaritmo de un número "N" en una base
"b" positiva y distinta de la unidad, como el exponente "  "
que debe afectar a dicha base, para obtener una potencia
igual al número dado inicialmente.

177

Álgebra
Representación

2.

Log bN   ........ (1)

 M, N  0 ;  b  0 ; b  1
Log

Donde :
Log =Operador de la logaritmación
N = Número propuesto / N > 0
b
= Base del logaritmo / b > 0; b  1
= Logaritmo /   R.


3.

b

M  Log

b

N  Log

M
( )
b N

 M  0 ;  n  R ;  b  0 ; b  1
Log

b

M

n

 n . Log

b

M

Definición :
4.

b  N ...... (2)

*

Log

x

Log 5 x  2  5  x

Log b N

b
Log 5 3

*

5

*

12

1.

2.

N

3

Log 12 (x  4 )

5  x4  5

3.

(bn )

(b m )  m
n

 b 0 ; b  1 ; {m , n}  R 

Sistema de logaritmos

 b  0 ; b  1

Un sistema de logaritmos se genera al asumir el
parámetro "b" un valor determinado, como : b > 0; b 
 1, es
fácil apreciar que existen infinitos sistemas de logaritmos,
siendo los usuales los siguientes :

 b  0 ; b  1

1.

Log b b  1
Observación : En R no existe el logaritmo para números
negativos.
Log 7 (10) ¡No existeen R!

2.

 M, N  0 ;  b  0 ; b  1
b

M  Log

b

N  Log

Sistema de logaritmos naturales :
También llamado sistema de logaritmos neperianos o
hiperbólicos. Aquí, la base es el número
inconmensurable "e" cuyo valor aproximado es :
2,7182.
Log N  LnN ; N  0
e

Propiedades operativas :

Log

 b  0 ; b  1 ; n  R

n  Log b b n

Log b 1  0

178

n

Log n (m b )  n
( b)
m

Propiedadesgenerales :

1.

M

 b  0 ; b  1 ; {m, n}  R  {0}

Log

x 9

*

bn

Casos especiales :

Teorema : Reemplazando (1) en (2).

2.

M  Log

2

 x  25

1.

b

Log2 8  x  2  8
 x3

*

 M  0 ;  n  R  {0} ;  b  0 ; b  1

b

(M . N )

Sistema de logaritmos decimales :
También llamado sistema de logaritmos vulgares o
Briggs, aquí la base es el número 10.
Log

10

N  LogN ; N  0Conversión de Sistemas :
1.

Propiedad adicional :

 a , b , c  R  / b  1

De logaritmo natural a decimal

a

LogN  0 , 4343 . LnN ; N  0
2.

De logaritmo decimal a natural

Ln N = 2,3026 . LogN ; N > 0

*

5

Log7 12

Log bc

c

Log ba

Log7 5

 12

Ecuaciones logarítimicas

Cambio de base

Analizaremos cada uno de los casos frecuentes,
veamos :

Dado un logaritmo en base "b", se lepodrá
representar en base "m", según la relación.

Primer caso :
se cumple :

Log

b

N 

Log
Log

Donde : N  0  {m , b}  R
*



m

N

m

 {1}

Log 5 12
Log 5 3

Caso especial :  {a , b}  R   {1}

Log

*

b

a 

x  0  b  0 ; b  1

se plantea : b a  x

b

Log3 12 en base 5, será :

Log 3 12 

Log b x  a

1
Log b
a

1
Log7 18 
Log18 7

Segundo caso :

Log b x  Log b y

se cumple : x 0  y  0  b  0 ; b  1
se plantea : x = y
Tercer daso : bx  a
se cumple :

a0  b0

se plantea :

Log b bx  Log b a

x . Log b b  Log b a
 x  Log ba
Inecuaciones exponentes
Analizaremos cada uno de los casos existentes,
veamos :
Primer caso : Siendo, 0 < b < 1.

Regla de la cadena :

bx  by  x  y

Verificando la existencia de cada uno de los factores
en el conjunto R, se...