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TRILCE

Capítulo

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RELACIONES
1. Definiciones Previas
1.1. Par ordenado :
Es un conjunto de dos elementos considerados
en un determinado orden. Si los elementos del
par ordenado son "a" y "b", al conjunto se le denota por (a; b) y se define de la manera siguiente :
(a; b) = {{a}; {a; b}}

Donde :
a = primera componente del par
b = segunda componente del par
Propiedades :
I.
II.

(a; b)  (b;a);  a  b
(a; b) = (c; d)  a = c  b = d

FUNCIONES
Propiedades :
I. El producto cartesiano no es conmutativo :

A  B  B  A
II. El número de elementos A  B es igual al número de elementos de B  A y se obtiene según la fórmula :
n (A  B)  n (B  A)  n(A). n(B)
2. Relación Binaria
2.1. Definición :
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se dice que
R es una relación de A en B (en eseorden), si y
sólo si, R es un subconjunto de A  B , es decir :
R  AB
R  {(a ; b) / a  B  b  B  a R b}

1.2. Producto Cartesiano :
Dados los conjuntos no vacíos A y B, el producto
cartesiano de A por B (en ese orden), se denota
así A  B y se define de la siguiente manera :
A  B  {(a; b) / a  A  b  B}
Donde :
A = conjunto de partida
B = conjunto de llegada
Ejemplo : Dados los conjuntos :
A= {1; 2; 3}  B = {-1; 2}
Determinar : A  B  B  A
Resolución :
Para , A  B , tenemos :
A  B  {1; 2 ; 3}  {1; 2}

A  B = {(1; -1), (1; 2), (2; -1), (2; 2),
(3; -1), (3; 2)}

Donde :
a R b, indica la relación que existe entre los componentes "a" y "b".
Ejemplo : Dados los conjuntos :
A = {1; 2; 4}  B = {2; 3}
Determinar la relación de R de A en B definida de
la manera siguiente :

R  {(a; b) / a  A  b  B  a  b}
Resolución :
Hallar el producto cartesiano de A por B.
A  B = {1; 2; 4} {2; 3}

A  B = {(1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3),
(4; 2), (4; 3)}
observar que los elementos de R son todos los
pares (a; b)  A  B / a  b . Luego, tenemos :
R = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}

Para B  A , tenemos :
B  A  {1 ; 2}  {1 ; 2; 3}

B  A = {(-1; 2), (-1; 2), (-1; 3), (2; 1),
(2; 2),(2; 3)}

2.2. Relación en A :
Dado el conjunto no vacío A, se dice que R es una
relación en A, si y solamente si, R  A  A .

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Álgebra
2.3. Clases de Relación :

FUNCIONES

Sea R una relación en A ( R  A  B ), luego R
podrá ser :
I. Reflexiva

 a  A  (a ; a)  R
II. Simétrica

(a ; b)  R  (b ; a)  R
III.Transitiva

(a ; b)  R  (b ; c)  R  (a ; c)  R

1. Definición :
Dada unarelación F de A en B (F  A  B) , se dice que
F es una función de A en B si y sólo si para cada x  A
existe a lo más un elemento y  B , tal que el par
(x ; y)  F , es decir, que dos pares ordenados distintos
no pueden tener la misma primera componente.
Ejemplo :
¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones,

R1  {(2 ;1), (0 ; 3), (1 ; 7)}
IV. De equivalencia
Siempre y cuando sea a la vezreflexiva, simétrica y transitiva.

R 2  {(3 ; 0), (4 ; 0) , (5 ;1)}
R 3  {(5 ;1),(4;  1),(4; 2)}
son funciones?

Ejemplo : Dado el conjunto
A = {1; 2; 3}
Se define una relación en A de la manera siguiente :
R = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (3; 3), (2; 1)}
¿R es una relación de equivalencia?

Resolución :
De acuerdo con la definición, se observa que:

R1 es función
R 2 es función
R 3 no es función, ¿porqué?
Porque

Resolución :
Si R es una relación de equivalencia, deberá ser
reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.
Reflexiva  a  R  (a ; a)  R
1  A  (1; 1)  R

¡Correcto!

2  A  (2; 2)  R

¡Correcto!

3  A  (3; 3)  R

¡Correcto!

Evidentemente, R es reflexiva.

(4 ;  1)  R 3  (4 ; 2)  R 3 ,

siendo

pares

ordenados distintos.
1.1. Propiedad
Siendo F una función, se verifica losiguiente :

(x ; y)  F  (x ; z)  F  y  z
2. Dominio y Rango de una función F
2.1. Dominio de F = Dom(F)
(DF ) denominado también pre imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de partida.

Simétrica (a ; b)  R  (b ; a)  R

(1 ; 2)  R  (2 ;1)  R 

¡Correcto!

Evidentemente, R es simétrica.
Transitiva (a ; b)  R  (b ; c)  R  (a...