170 LimiteContinuidad

Univ. de Alcal´
a de Henares
C´
alculo. Segundo parcial.

Ingenier´ıa de Telecomunicaci´
on
Curso 2004-2005

L´ımites y continuidad
1.

L´ımite de funciones de dos variables
Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuesti´on de qu´e significa el s´ımbolo
l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

que aparece en la noci´on de diferenciabilidad,porque no quer´ıamos que los detalles t´ecnicos de
la definici´on de l´ımiteoscurecieran la discusi´on sobre la diferenciabilidad. Pero ha llegado el
momento en que no podemos demorar m´as esa cuesti´on. Por esa raz´on esta secci´on se dedica a
la definici´on y c´alculo de l´ımites en funciones de dos variables, con la vista puesta en nuestro
objetivo de entender plenamente la definici´on de diferenciabilidad.
Bas´andonos en lo que hemos aprendido en el c´alculo de unavariable, est´a bastante claro lo
que queremos decir cuando escribimos
l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L

Cuando decimos que el l´ımite de f en (x0 , y0 ) es L, estamos diciendo que si se calcula f en un
punto (x, y) cercano a (x0 , y0 ), se obtendr´a un valor que tal vez no sea L, pero que estar´a muy
cerca de L. Estar´a tanto m´as cerca, cuanto m´as acerquemos (x, y) a (x0 , y0 ).
Como puedeverse, en esta descripci´on del l´ımite la idea central es la de distancia. Y adem´as
es preciso se˜
nalar que no hay ninguna diferencia entre esta idea de l´ımite y la que se utiliza en
funciones de una variable.
Si queremos ser m´as precisos, y obtener una definici´on rigurosa, la mejor forma de pensar en
esta definici´on de l´ımite consiste probablemente en centrarnos en la idea de control delerror: Nos
fijamos un objetivo de error m´aximo tolerable, dado por el n´
umero ε. Debemos pensar por tanto
que ε ser´a un n´
umero peque˜
no, algo como 0,001 si deseamos cometer un error de mil´esimas,
o como 0,000001 si el tama˜
no del error m´aximo debe ser del orden de millon´esimas. Vamos a
medir entonces el error que se comete al calcular f (x, y) en lugar de f (x0 , y0 ), y queremos que
eseerror sea menor que ε. Es decir, queremos que sea
|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε
Naturalmente, no podemos esperar que ´esto ocurra sea cual sea el valor de (x, y) que se utilice.
Para que el error sea peque˜
no, debemos tomar (x, y) cerca de (x0 , y0 ). Y as´ı llegamos a la versi´
on
casi definitiva de la definici´on de l´ımite:
Definici´
on 1.1 (Definici´on provisional de l´ımite). Decimos que ell´ımite de f en (x0 , y0 ) es L
si, sea cual sea el error m´
aximo ε que hayamos fijado, se puede garantizar que se cumple
|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε
cuando (x, y) est´
a suficientemente cerca de (x0 , y0 ).
1

Para convertir ´esto en una definici´on formal debemos precisar la parte que aparece subrayada
en esta definici´on. ¿Cu´ales son los (x, y) que est´an “suficientemente cerca” de (x0 , y0)? Pues
todos aquellos cuya distancia a (x0 , y0 ) es peque˜
na. Una forma de garantizar que esa distancia
sea peque˜
na es tomar un n´
umero δ, peque˜
no, y pedir que se cumpla
d ((x, y), (x0 , y0 )) < δ
Si por ejemplo tomamos δ = 0,0001, estamos pidiendo que la distancia entre (x, y) y (x0 , y0 ) sea
menor que una diezmil´esima. El n´
umero δ es la pieza que nos faltaba en nuestra definici´onde
l´ımite:

Definici´
on 1.2 (Definici´on de l´ımite). Decimos que el l´ımite de f en (x0 , y0 ) es L si, sea cual
 sea el error m´
aximo ε que hayamos fijado, se puede elegir un n´
umero δ tal que, para todos los

 (x, y) que cumplen


d ((x, y), (x0 , y0 )) < δ


 se puede garantizar que se cumple




|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε



 En lenguaje formal:

∀ε > 0 ∃δ : d ((x, y),(x0 , y0 )) < δ ⇒ |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε
Hay que pensar en esta definici´on como una especie de contrato: si t´
u me dices el error ε que
est´as dispuesto a admitir, yo me comprometo a encontrar el δ que garantiza que si tomas (x, y)
a distancia menor que δ de (x0 , y0 ), los valores de f (x, y) que vas a obtener se parecen al valor
f (x0 , y0 ) con un error menor que ε.
Ejemplo 1.3....