2009 UTFSM P1

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE OBRAS CIVILES
OBRAS MARITIMAS 2009

PRUEBA N°1
MECÁNICA DE ONDAS

1)

Indica las principales fuerzas generadoras y restauradoras que dan lugar a las oscilaciones
que se pueden evidenciar en un estado del mar. Para tal propósito elabora un esquema
donde se represente en el eje de las abscisas las frecuencias y en la ordenada la energíaasociada. (10 puntos)

Puntuación.
2 puntos presentación
2 puntos Periodos o frecuencias
2 puntos restauradora
2 puntos generadoras
2 puntos Energía

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2)

Explica los supuestos que se utilizan para derivar las siguientes ecuaciones: ecuación decontinuidad, Ecuaciones de Euler, Ecuación de Laplace y Ecuación de Bernoulli. (20 puntos)

2.1) ecuación de continuidad:
En un fluido real la masa debe conservarse, ya que no puede crearse, ni destruirse. Para expresar el principio de
conservación de la masa en términos de una ecuación se plantea para un cubo infinitesimal (para una dirección
específica) el flujo másico por sus caras. Para el cubode lados ∆x , ∆y y ∆z , con el sistema de coordenadas en el
centro del cubo la entrada de flujo másico debe igualar la taza acumulativa de masa en el volumen de control y las
salidas del mismo. Primero tomando la cara AECG, recordamos que el flujo másico corresponde a la componente de la
velocidad (para este caso en x) multiplicada por el área a la cual intersecta y la densidad del fluido. Porlo cual el flujo
másico por la cara x- ∆x /2 (AECG)

El flujo másico puede ser referido al centro del cubo truncando la expansión en serie de Taylor de la función que define el
flujo másico. Este procedimiento se justifica considerando lo pequeño del cubo (infinitesimal).

Considerando ahora el flujo másico saliendo por la cara BFDH expresado en serie de Taylor

La sustracción de los dos términosanteriores es la tasa de acumulación másica en el volumen de control, llegando a la
siguiente expresión.

Siguiendo un procedimiento similar para las direcciones Z e Y, encontramos la expresión de la tasa de acumulación
másica considerando el flujo incidente por las 6 caras de cubo.

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Ahora si consideramos la variación de masa sobre el volumen de control ocurre en un instante de tiempo ∆t . La masa
en el volumen en el tiempo t es ρ (t ) ∆x∆y ∆z y en el tiempo t + ∆t la masa es ρ (t + ∆t ) ∆x∆y ∆z . La
variación es por lo tanto

Igualando ambas expresiones anteriores se llega,

Dividiendo ambos lados de la ecuación por
relaciónexacta.

∆x∆y ∆z ∆t y aproximando a cero el volumen del cubo se llega a la

La forma expansiva de la expresión anterior es,

Para un fluido incompresible la ecuación de conservación de la masa se transforma en ecuación de continuidad la cual
toma la siguiente forma.

2.2 ecuación de Euler:
Las ecuaciones vectoriales de Euler son resultado de la segunda ley de newton (conservación de la cantidad demovimiento)
Considerando solo la dirección X

La sumatoria de fuerzas

∑F

x

= m ⋅ ax = m ⋅

du
dt

Remplazando la expresión de la aceleración total en x,

Y Expresando los esfuerzos superficiales,
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Para las componentes en las restantesdirecciones Y, Z.

Despreciando los esfuerzos de corte en la ecuación optemos las ecuaciones de Euler y expresando las fuerzas de
volumen como –g e la dirección z.

2.3.-Ecuación de Laplace
La deducción de la ecuación de Laplace nace de dos supuestos principalmente. El primero considerar al flujo irrotacional
lo cual permite expresar el campo de velocidades en función del potencial de velocidades y luego...