2015 1 CINETICA DE CUERPO RIGIDO EN EL ESPACIO

CINETICA ESPACIAL DE LOS CUERPOS
RIGIDOS
En este capitulo haremos mas énfasis en los
aspectos del movimiento del cuerpo rígido, ya
que se sigue cumpliendo la ley :



F  maG

CONCEPTOS PREVIOS
I XX   (Y 2  Z 2 )dm, IYY   ( X 2  Z 2 )dm, I
I XX  I XX  m(YG  Z G )

I XY  I XY  m. X G .YG

I YY  I YY  m( X G  Z G )

I YZ  I YZ  m.YG .Z G

I ZZ  I ZZ  m( X G  YG )

I XZ  I XZ mX G .Z G

2
2

2

2
2

2

TENSOR DE INERCIA

 I xx I I xz 


I   I yx I yy I yz 
I

 zx I zy I zz 

ZZ

  ( X 2  Y 2 )dm

MOMENTO DE INERCIA
RESPECTO A UN EJE
ARBITRARIO
Sea:







  Cos .i  Cos . j  Cos .k   X .i   y . j   Z .k
I aa  I xx  x2  I yy  y2  I zz  z2  2I xy  x  y  2I yz  y  z  2I zx  z  y

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA
Sean I1,I2, I3 los momentos principales de
inercia, y se presenta el tensor de Inercia
diagonalizado donde:

Ixy = Iyz = Izx = 0
I=

 I1 O O 
O I O 
2




O O I 3 

  cos    x
m  cos    y
n  cos    z

DE:

 I xx  I  x  I xy y  I xzz  0
 I zx x   I yy  I   y  I yz z  0
 I zx x  I zy y   I zz  I   z  0

De la cual se
principales

calcula los momentosCálculos de los Cosenos, directores de los
ejes :
Principales:

I1, I2 I3

I xx  I   I xy  I xz 


 I yz I yy  I   I xz   0
  I  I I  I  
zx
zy
zz



, m, n
Sabiendo:

2  m2  n2  1
Con:

 I xx  I  l  I xy m  I zx n  0
 I yx l  I yy  I  m  I yz n
I zx l  I zy m  I zz  I  n

MOMENTUM ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO
Tomándolo como un medio discreto de
particulasal cuerpo de masa m

n

1) H    m 
A
A
i i
2)       
i
A
A

H A   A  mi ( A     A )
H A   A mi   A   A  (   A )mi
Para todo el cuerpo, sumando para todas las n particulas:

n es
Cuando

HA 

H A     A mi   A    A  (   A )mi

contable: medio discreto:

n    mi  dm

 

A



(medio continuo)



dm   A    A ( x  A )dm

Forma ócaso GENERAL
Traslación +rotación
“TRASLACION+ ROTACION”

HA 

 

A



dm   A    A (   A ) dm

CASOS QUE SE PRESENTAN:
1) Cuando A se convierte en un punto fijo: O

H 0   0  ( w  0 )dm

0   p /O


HA 

 


A











dm   A    A (   A ) dm

2) Cuando A se convierte en el centro de masa G
  G dm
 rG  0    G dm  0
 dm



 
H G    G  ( w  G )dm
TRASLACION
+
ROTACION
caso general





 A  G

3)Cuando A es un punto arbitrario cualquiera:
HA 



 


A



dm   A 



 A  G  G A

;



A

( w   A ) dm

G

A

 cre

 A  





A
G

A

A


 G


 P G

Luego:





H A  ( G  G A ) x Adm  ( G  G A ) xw xG  G





H A  (  G dm) 0 x A  (   G A   A )  dm

0

 
 G xwxG dm  (  G dm) x( w xG A )




 
  G A x( w   G dm) 0   G A x( wx G A )  dm






H A  ( G A x A )m  H G  G A x ( w xG A )m




 
H A  G A x  AwxG A  m  H G



Como:

 
G  A  w
xG A


H A  G





A

 m G


 HG

A



MOMENTUM ANGULAR CONSIDERANDO UN

A)Por cualquiera del cuerpo
SISTEMA
CARTESIANO
rígido




  xi  yj zk




  wx I  wy J  w z K


Sea:

De:


  
H 0     ( w   )dm
a) O: fijo
b) O₌G:

H 

ˆ  yj  zkˆ x  wxIˆ  w
xi








y

Jˆ

 



 w z Kˆ  xiˆ  yJˆ  zKˆ  dm


H    xIˆ  yJˆ  zKˆ x  zwy  yw z  Iˆ   xw z  zw y  Jˆ   ywx  xw y  Kˆ  dm






H O  H O xi  H O yJ  H O ZK

Sabemos que:

Luego:




 2

2
2
2
H   y wx  xywy z wx  zxwz i  x wy  xywx  z wy J  x 2 wz  xzwx  yzwy

 



 



H x   y 2  z 2 wx dm   wy xydm   xzwz dm





H x  wx  y 2  z 2 dm  wy  xydm  wz  xzdm


 

 dm

K

Análogamente:

Reordenando:
También:

H y   I yx wx  I yy wy  I yz wz

H y   I xy wx  I yy wy  I yz wz
H z   I zx wx  I zy wy  I zz wz

 H ox   I xx  I xy  I xz  x 
 
 ...