20150520210511

AXIOMAS DE NÚMEROS REALES

Respecto a los números reales podemos hacer la siguiente clasificación:





(#s reales)
+ (Reales positivos)



0 (cero real)
Racionales ( Q+ )
Enteros ( Z+ )
Fraccionarios ( F+ ) Irracionales ( I+ )

-
(Reales negativos)
Racionales ( Q- )
Enteros ( Z- )
Fraccionarios ( F- ) Irracionales ( I- )





A.- El conjunto de losNúmeros naturales, denotado por N, donde:
N = 1, 2, 3, ........

B.- El conjunto de los Números enteros, denotado por Z, donde:
Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

C.- El conjunto de los Números racionales, denotado por Q, donde:
Q = x/x=
p , p y q son enteros
q
(q 0)
D.-El conjunto de los Números irracionales, denotado por I, donde:
I = x/x tiene representación decimal infinita noperiódica E.- El conjunto de los Números Reales, denotados por , donde:
= x/x es racional ó irracional


F.- El conjunto de los Números Complejos, denotado por C, donde:


C = x / x = a + b i; a b 
i es la unidad imaginaria donde:
i = 1; tal que: i2 = -1

G.-El conjunto de los Números enteros positivos denotados por Z+, donde:
Z+ = 1, 2, 3,............ 

H.-El conjunto de losNúmeros Enteros positivos incluido el cero, denotado por
+
Z0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5,........ 




El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por con dos operaciones internas llamadas:

1) Adición (+) : (a,b) = a+b
2) Multiplicación (.) : (a,b) = a.b y una relación de orden “<”
(<, se lee “menor que”); el cual satisface los siguientes axiomas.

I.


A1: Ley declausura
a, b a + b 
A2: Ley conmutativa
a, b a + b = b+a A3: Ley Asociativa
a, b, c 
( a + b ) + c = a + ( b + c )
A4: Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
Existe un valor único , denotado por “0” (0, se lee cero) tal que
a : a + 0 = a = 0 + a
A5: Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
a , existe un valor único denotado por -atal que:
a :
a + (-a) = 0 = (-a) + a


II.

M1: Ley de clausura
a, b  a.b 
M2: Ley conmutativa
a, b  a.b = b.a
M3: Ley Asociativa: a, b, c  ( a . b ) . c = a . ( b . c ) M4: Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo
Existe un valor único , denotado por “1” ( 1, se lee uno ) tal que
a : a.1 = a = 1.a
M5: Existencia y unicidad del elementoinverso multiplicativo
a / a 0; existe un valor único denotado por a - 1 tal que a. a - 1 = 1 = a - 1. A
III.




a, b, c 
D1: Distributividad por la izquierda a ( b + c ) = a b + a c
D2: Distributividad por la derecha ( a + b ) c = ac + bc


IV.

O1 = Ley de Tricotomía
Dados a y b ; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones:

a < b
a = b
b < a

O2 = LeyTransitiva, a, b, c , se cumple Si; a < b b < c
a < c O3 = Ley de la Monotonía
i) a, b, c ;
si a < b a + c < b + c
ii) Si a < b 0 < c  ac < bc
iii) Si a < b c < 0  bc < ac

V.



a, b, c , se cumple
1) Dicotomía: a = b a b
2) Reflexividad: a = a
3) Simetría: a = b b = a
4) Transitividad:
Si: a = b b = c a = c
5) Unicidad de la adición Si: a = ba+c = b+c
6) Unicidad de la multiplicación Si: a = b  a.c = b.c

VI.


Todo conjunto A de números reales (A  0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.


RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA)
La recta real es una recta geométrica de infinitos puntos donde cada uno de los puntos establece una correspondencia biunívoca con los números reales, esto nospermite visualizar una relación de orden < (menor que) entre dos o más cantidades, como ilustra la gráfica adjunta.

#s negativos #s positivos




La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la cantidad “a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”.
Con respecto a la recta geométrica debemos tener en cuenta lo siguiente:
1. “0” (cero), es el origen de la...