Series

CAP´ITULO IX.
´
SERIES NUMERICAS

SECCIONES
A. Series de t´erminos no negativos.
B. Ejercicios propuestos.

401

´
A. SERIES DE TERMINOS
NO NEGATIVOS.

Dada una sucesi´on {a1 , a2 , . . . , an , . . . }, se llama serie de t´ermino general
an , y que representaremos por
an , a la sucesi´on de sumas parciales {Sn }
n≥1

definida por S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an , . .. .
Si existe S = l´ım Sn , la serie
n→∞

se escribe

an se dice convergente y tiene suma S y
n≥1

an = S.
n≥1

Si dicho l´ımite es infinito o no existe, la serie

an es divergente.
n≥1

Enunciaremos a continuaci´on los criterios generales para estudiar el car´acter
(convergente o divergente) de una serie. Nos limitaremos a las series de
t´erminos no negativos (an ≥ 0) aunque el primer criterio esv´alido para
series generales.
1. Condici´
on del resto.
Si una serie

an es convergente, entonces l´ım an = 0.
n→∞

n≥1

De aqu´ı se deduce que si el t´ermino general de una serie no converge
a cero, dicha serie es divergente.
2. Criterio de comparaci´
on.
Dadas dos series

bn , si an ≤ bn , ∀n y

an y
n≥1

n≥1

bn converge,
n≥1

an converge.

entonces
n≥1

Rec´ıprocamente, si una serie esdivergente y todos sus t´erminos son
mayores o iguales que los de otra serie, esta u
´ltima es tambi´en divergente.
3. Criterio de comparaci´
on por paso al l´ımite.
an
a) Si l´ım
= L (L finito y L = 0), entonces
n→∞ bn
an converge ⇐⇒
n≥1

b) Si l´ım

n→∞

bn converge.
n≥1

an
= 0, entonces
bn
bn converge =⇒
n≥1

an converge.
n≥1

402

an
= ∞, entonces
n→∞ bn

c) Si l´ım

bn converge.

an converge =⇒n≥1

n≥1

Para utilizar los criterios de comparaci´on es conveniente conocer la
convergencia de las siguientes series:
1/np es convergente cuando p > 1 y

- Serie arm´
onica: La serie
n≥1

divergente cuando p ≤ 1.
a · rn es convergente cuando |r| < 1

-Serie geom´
etrica: La serie
n≥1

y divergente cuando |r| ≥ 1.
4. Criterio del cociente (D’Alembert).
an+1
Sea L = l´ım
. Entonces,
n→∞ an
a) si L< 1,

an converge;
n≥1

an diverge.

b) si L > 1,
n≥1

5. Criterio de la ra´ız (Cauchy).
√
Sea L = l´ım n an . Entonces,
n→∞

a) si L < 1,

an converge;
n≥1

an diverge.

b) si L > 1,
n≥1

6. Criterio de Raabe.
an+1
a) Si l´ım n · 1 −
an
b) Si l´ım n · 1 −

an+1
an

> 1, entonces

an converge.

< 1, entonces

an diverge.

Nota: Este criterio puede ser conveniente en los casos en que los criteriosdel cociente o de la ra´ız no son concluyentes.
7. Criterio de la integral.
Sea f : [1, ∞) → R una funci´on decreciente y f (x) > 0, ∀x. Entonces
∞

f (n) converge ⇐⇒

f (x)dx converge.
1

n≥1

403

8. Criterio del producto (Pringsheim).
a) Si l´ım np an = L ≥ 0, para alg´
un p > 1, entonces

an converge.

b) Si l´ım np an = L > 0, para alg´
un p ≤ 1, entonces

an diverge.

9. Criteriologar´ıtmico.
Si l´ım

log 1/an
= L, entonces
log n

a)

an converge cuando L > 1.

b)

an diverge cuando L < 1.

PROBLEMA 9.1.

Estudiar el car´
acter de la serie
an =

an de t´
ermino general

n(n + 1)
.
n2 + 2n

Soluci´
on

Como l´ım

n(n + 1)
= 1 = 0, la serie es divergente.
n2 + 2n

PROBLEMA 9.2.

Sabiendo que la suma de los n primeros t´
erminos de una serie
es
5n2 − 3n + 2
Sn =
,
n2 − 1
hallar el t´ermino general y estudiar su naturaleza.
Soluci´
on

Aplicamos la f´ormula an = Sn − Sn−1 y obtenemos:
an =

5n2 − 3n + 2 5(n − 1)2 − 3(n − 1) + 2
3n2 − 17n + 10
−
=
.
n2 − 1
(n − 1)2 − 1
n4 − 2n3 − n2 + 2n
404

Como adem´as l´ım Sn = l´ım

5n2 − 3n + 2
= 5, la serie es convergente.
n2 − 1

Observaci´
on: No confundir con la condici´on necesaria de convergencia en la
que debe ser cero el l´ımitedel t´ermino general de la serie an , no del t´ermino
general de la sucesi´on de sumas parciales Sn . En este caso, como l´ım Sn = 5,
quiere decir que la suma de la serie es precisamente 5.

PROBLEMA 9.3.

Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie
nk
an de t´
ermino general an =
sea convergen(n + 1)(n + 2)(n + 3)
te.
Soluci´
on

Aplicando el criterio logar´ıtmico,
l´ım...