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Páginas: 14 (3303 palabras)
Publicado: 24 de noviembre de 2014
LA GACETA
557
EL
´
DIABLO DE LOS NUMEROS
Secci´on a cargo de
Javier Cilleruelo Mateo
La conjetura de Goldbach
En una carta dirigida a Euler y fechada el 7 de Junio de 1742, Christian
Goldbach (1690-1764) afirmaba haber observado que todo n´
umero par mayor
que 2 pod´ıa escribirse como suma de dos primos; y que todo n´
umero impar
mayor que 5 se pod´ıa representar como suma detres. La resoluci´on de la
conjetura de Goldbach, como es conocido el primero de estos problemas, est´a
considerado como uno de los problemas m´
as dif´ıciles de las matem´aticas.
Parece una broma el que un problema de enunciado tan sencillo sea inaccesible con las herramientas matem´aticas tan poderosas con las que se cuenta
hoy en d´ıa. Sin embargo no es una excepci´
on; hace solo cuatroa˜
nos que Andrew
Wiles consigui´o demostrar el “´
ultimo teorema de Fermat”, el cual compet´ıa
con la conjetura de Goldbach en sencillez y belleza.
En los u
´ltimos meses la conjetura de Goldbach se ha popularizado, m´
as
si cabe, debido a un motivo m´
as prosaico. Una editorial ha ofrecido un mill´
on
de libras a quien resuelva la conjetura en un plazo de 2 a˜
nos. No esta claro
sieste incentivo intenta potenciar la investigaci´
on en la teor´ıa de los n´
umeros
o simplemente es una operaci´on de propaganda de un libro reciente de la
misma editorial, “Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” (El T´ıo Petros y
la Conjetura de Goldbach), del griego Apostolos Doxiadis. Sea como fuere,
cualquier excusa es buena para hablar una vez m´
as de este problema y de lasmatem´aticas tan extraordinarias a las que ha dado lugar.
¿POR QUE´ SE PIENSA QUE LA CONJETURA ES CIERTA?
4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,
8 = 3 + 5 = 5 + 3,
10 = 3 + 7 = 5 + 5 = 7 + 3,
12 = 5 + 7 = 7 + 5,
14 = 3 + 11 = 7 + 7 = 11 + 3,
16 = 3 + 13 = 5 + 11 = 11 + 5 = 13 + 3,
18 = 5 + 13 = 7 + 11 = 11 + 7 = 13 + 5,
20 = 3 + 17 = 7 + 13 = 13 + 7 = 17 + 3,
22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11 = 17 + 5 = 19 + 3, EL
558
´
DIABLO DE LOS NUMEROS
Carta de Goldbach a Euler
La conjetura ha sido verificada para todos los n´
umeros pares menores que
4 × 1014 por Joerg Richstein (1998).
Los primeros n´
umeros pares que acabamos de comprobar, no s´
olo son representables como suma de dos primos, sino que el n´
umero de representaciones
de n como suma de dos primos, al que llamaremos r2 (n),parece crecer con n.
Esto se debe, entre otras cosas, a que los primos son bastante numerosos.
Si definimos π(x) como el n´
umero de primos menores o iguales que x, el
teorema del n´
umero primo afirma que π(x) ∼ x/ log x. En otras palabras, la
probabilidad de que un entero de tama˜
no n sea primo es aproximadamente
LA GACETA
559
1/ log n. Desde este punto de vista probabil´ıstico, esf´acil comprobar que el
n´
umero esperado para r2 (n) deber´ıa ser aproximadamente n/ log2 n. Sin embargo este argumento, basado simplemente en la densidad de los primos, no
s´olo no es riguroso, sino que ofrece una visi´
on equivocada del problema. Podemos ofrecer ejemplos de conjuntos de impares m´as “numerosos” que los primos
donde hay infinitos pares que no son suma de dos elementos delconjunto. Por
ejemplo, con los impares de la forma 4k + 1, que son mucho m´
as numerosos
que los primos, no podemos representar los m´
ultiplos de 4.
Esta u
´ltima observaci´
on nos invita a pensar que no s´
olo debemos tener
en cuenta que hay muchos primos, sino que tambi´en habr´
a que ver c´omo se
distribuyen en progresiones aritm´eticas. Si, por ejemplo, todos los primos, salvo
quiz´as un n´
umero finito de ellos, fueran de la forma 6k + 1, habr´ıa infinitos
n´
umeros pares de la forma 6n + 4 que no se podr´ıan representar como suma de
dos primos. Pero este no es el caso. Dirichlet generaliz´o el teorema del n´
umero
primo para progresiones aritm´eticas demostrando que existen infinitos primos
en todas las progresiones aritm´eticas qk + d, k = 0, 1, 2, . . . siempre...
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DIABLO DE LOS NUMEROS
Secci´on a cargo de
Javier Cilleruelo Mateo
La conjetura de Goldbach
En una carta dirigida a Euler y fechada el 7 de Junio de 1742, Christian
Goldbach (1690-1764) afirmaba haber observado que todo n´
umero par mayor
que 2 pod´ıa escribirse como suma de dos primos; y que todo n´
umero impar
mayor que 5 se pod´ıa representar como suma detres. La resoluci´on de la
conjetura de Goldbach, como es conocido el primero de estos problemas, est´a
considerado como uno de los problemas m´
as dif´ıciles de las matem´aticas.
Parece una broma el que un problema de enunciado tan sencillo sea inaccesible con las herramientas matem´aticas tan poderosas con las que se cuenta
hoy en d´ıa. Sin embargo no es una excepci´
on; hace solo cuatroa˜
nos que Andrew
Wiles consigui´o demostrar el “´
ultimo teorema de Fermat”, el cual compet´ıa
con la conjetura de Goldbach en sencillez y belleza.
En los u
´ltimos meses la conjetura de Goldbach se ha popularizado, m´
as
si cabe, debido a un motivo m´
as prosaico. Una editorial ha ofrecido un mill´
on
de libras a quien resuelva la conjetura en un plazo de 2 a˜
nos. No esta claro
sieste incentivo intenta potenciar la investigaci´
on en la teor´ıa de los n´
umeros
o simplemente es una operaci´on de propaganda de un libro reciente de la
misma editorial, “Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” (El T´ıo Petros y
la Conjetura de Goldbach), del griego Apostolos Doxiadis. Sea como fuere,
cualquier excusa es buena para hablar una vez m´
as de este problema y de lasmatem´aticas tan extraordinarias a las que ha dado lugar.
¿POR QUE´ SE PIENSA QUE LA CONJETURA ES CIERTA?
4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,
8 = 3 + 5 = 5 + 3,
10 = 3 + 7 = 5 + 5 = 7 + 3,
12 = 5 + 7 = 7 + 5,
14 = 3 + 11 = 7 + 7 = 11 + 3,
16 = 3 + 13 = 5 + 11 = 11 + 5 = 13 + 3,
18 = 5 + 13 = 7 + 11 = 11 + 7 = 13 + 5,
20 = 3 + 17 = 7 + 13 = 13 + 7 = 17 + 3,
22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11 = 17 + 5 = 19 + 3, EL
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DIABLO DE LOS NUMEROS
Carta de Goldbach a Euler
La conjetura ha sido verificada para todos los n´
umeros pares menores que
4 × 1014 por Joerg Richstein (1998).
Los primeros n´
umeros pares que acabamos de comprobar, no s´
olo son representables como suma de dos primos, sino que el n´
umero de representaciones
de n como suma de dos primos, al que llamaremos r2 (n),parece crecer con n.
Esto se debe, entre otras cosas, a que los primos son bastante numerosos.
Si definimos π(x) como el n´
umero de primos menores o iguales que x, el
teorema del n´
umero primo afirma que π(x) ∼ x/ log x. En otras palabras, la
probabilidad de que un entero de tama˜
no n sea primo es aproximadamente
LA GACETA
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1/ log n. Desde este punto de vista probabil´ıstico, esf´acil comprobar que el
n´
umero esperado para r2 (n) deber´ıa ser aproximadamente n/ log2 n. Sin embargo este argumento, basado simplemente en la densidad de los primos, no
s´olo no es riguroso, sino que ofrece una visi´
on equivocada del problema. Podemos ofrecer ejemplos de conjuntos de impares m´as “numerosos” que los primos
donde hay infinitos pares que no son suma de dos elementos delconjunto. Por
ejemplo, con los impares de la forma 4k + 1, que son mucho m´
as numerosos
que los primos, no podemos representar los m´
ultiplos de 4.
Esta u
´ltima observaci´
on nos invita a pensar que no s´
olo debemos tener
en cuenta que hay muchos primos, sino que tambi´en habr´
a que ver c´omo se
distribuyen en progresiones aritm´eticas. Si, por ejemplo, todos los primos, salvo
quiz´as un n´
umero finito de ellos, fueran de la forma 6k + 1, habr´ıa infinitos
n´
umeros pares de la forma 6n + 4 que no se podr´ıan representar como suma de
dos primos. Pero este no es el caso. Dirichlet generaliz´o el teorema del n´
umero
primo para progresiones aritm´eticas demostrando que existen infinitos primos
en todas las progresiones aritm´eticas qk + d, k = 0, 1, 2, . . . siempre...
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