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Páginas: 8 (1986 palabras)
Publicado: 30 de marzo de 2015
OPTIMIZACION DE FUNCIONES
Calcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm.
S = пRg
Si los triángulos DCO y DAB que son semejantes, pues OCAB y poseen un ángulo de 90º
; g = R
En DBA g2 = R2 + x2 ; R2 = g2 – x2 ; R2 = R2 · ;
R2· ; R2 = ; R2 = ; R2 =
R2 =
Como S = пRg = пR·R· пR2 ·
S = п ; S =4п ·
S´ = 4п · = 4п ·
SI = 4п · ; Para que S´ = 0 x2 - 16x + 32 = 0 x = 8 4
El x = 8 - 4 < 4 no es válido pues sería menor que el radio de la esfera, luego la altura del cono será 8 + 4
Calcular la longitud que deben tener los lados de un rectángulo ins-crito en una circunferencia de radio 5 m para que el área del rectán-gulo sea máxima.
Si designamos por x e y las anchuray altura del rectángulo =>
Función a optimizar área : x y = f( x, y ) = x y
Función condición x2 + y2 = d2 x2 + y2 = 4r2 = 100
______
y = 25 - x2
Si sustituímos este valor en f( x, y ) obtenemos la función en una sola variable :
_____ ________ 50 x - 4x3
S = x · 25 - x2 = 25 x2– x4 Derivamos : S´ = -----------------
2 25 x2 – x4
S´= 0 50 x - 4x3 = 0 x · (50 – 4 x2) = 0
Hay tres teoricas soluciones
__
x = 0 y 4x2 = 50 x2 = 25 / 2 x = 5 / 2
La solución x = 0 y la x = - 5 / 2 carecen de sentido porque se refiere a una longitud
__ __
La única válida es : x = 5 / 2 y la ordenada correspondiente es : y = 5 / 2
El valor del área máxima será, calculada mediante S( x) = x · y = 25 / 2 = 12,5 cm2
Con un hilo de 60 cm, formar un rectángulo que, al girar alrededor de uno de sus lados, engendre un cilindro de área lateral máxima.
Determinar el punto de la curva en el que la tangente a la curva forma con el eje OX el mayor ángulo posible.
El máximo de y ‘será calcular la y “e igualar a cero
y”= 0 => Para ver sies máximo el + o – se halla y ‘’’
y’’’ (x) =
y”’( > 0 Mín. No me vale
y”’ ( <0 Máx. La tg es máx. en
Determinar las dimensiones de una vasija en forma de cilindro circular recto de 2m3 de volumen, de forma que sea mínima la cantidad de material usado para su construcción.
x Necesito que ST sea mínima
ST=
y
ST= ST=
ST’= Para que ST’= 0 necesitoque
=>
ST” =
ST” () = => La ST es mínima para
Determinar las dimensiones que hacen mínima la superficie total de un ortoedro si su volumen es 72 cm3 y la razón de dos de sus dimensio-nes es ½.
ST = 2 (xz + yz + xy)
y z V =x·y·z = 72
x
ST=
ST=Para que ST’ = 0 =>
; y = 6
Veamos que ST es mínima y no máxima.
S”=
S”(3)= > 0 Luego ST es mínimo para x = 3 , y = 6, z = 4.
La parte escrita ocupa 400cm2 en la...
Calcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm.
S = пRg
Si los triángulos DCO y DAB que son semejantes, pues OCAB y poseen un ángulo de 90º
; g = R
En DBA g2 = R2 + x2 ; R2 = g2 – x2 ; R2 = R2 · ;
R2· ; R2 = ; R2 = ; R2 =
R2 =
Como S = пRg = пR·R· пR2 ·
S = п ; S =4п ·
S´ = 4п · = 4п ·
SI = 4п · ; Para que S´ = 0 x2 - 16x + 32 = 0 x = 8 4
El x = 8 - 4 < 4 no es válido pues sería menor que el radio de la esfera, luego la altura del cono será 8 + 4
Calcular la longitud que deben tener los lados de un rectángulo ins-crito en una circunferencia de radio 5 m para que el área del rectán-gulo sea máxima.
Si designamos por x e y las anchuray altura del rectángulo =>
Función a optimizar área : x y = f( x, y ) = x y
Función condición x2 + y2 = d2 x2 + y2 = 4r2 = 100
______
y = 25 - x2
Si sustituímos este valor en f( x, y ) obtenemos la función en una sola variable :
_____ ________ 50 x - 4x3
S = x · 25 - x2 = 25 x2– x4 Derivamos : S´ = -----------------
2 25 x2 – x4
S´= 0 50 x - 4x3 = 0 x · (50 – 4 x2) = 0
Hay tres teoricas soluciones
__
x = 0 y 4x2 = 50 x2 = 25 / 2 x = 5 / 2
La solución x = 0 y la x = - 5 / 2 carecen de sentido porque se refiere a una longitud
__ __
La única válida es : x = 5 / 2 y la ordenada correspondiente es : y = 5 / 2
El valor del área máxima será, calculada mediante S( x) = x · y = 25 / 2 = 12,5 cm2
Con un hilo de 60 cm, formar un rectángulo que, al girar alrededor de uno de sus lados, engendre un cilindro de área lateral máxima.
Determinar el punto de la curva en el que la tangente a la curva forma con el eje OX el mayor ángulo posible.
El máximo de y ‘será calcular la y “e igualar a cero
y”= 0 => Para ver sies máximo el + o – se halla y ‘’’
y’’’ (x) =
y”’( > 0 Mín. No me vale
y”’ ( <0 Máx. La tg es máx. en
Determinar las dimensiones de una vasija en forma de cilindro circular recto de 2m3 de volumen, de forma que sea mínima la cantidad de material usado para su construcción.
x Necesito que ST sea mínima
ST=
y
ST= ST=
ST’= Para que ST’= 0 necesitoque
=>
ST” =
ST” () = => La ST es mínima para
Determinar las dimensiones que hacen mínima la superficie total de un ortoedro si su volumen es 72 cm3 y la razón de dos de sus dimensio-nes es ½.
ST = 2 (xz + yz + xy)
y z V =x·y·z = 72
x
ST=
ST=Para que ST’ = 0 =>
; y = 6
Veamos que ST es mínima y no máxima.
S”=
S”(3)= > 0 Luego ST es mínimo para x = 3 , y = 6, z = 4.
La parte escrita ocupa 400cm2 en la...
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