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OBJETIVO
Resolver problemas sobre matrices equivalentes, rango e inversa mediante la interpretación, expresión y
representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones propiedades y métodos adecuados
para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.

CONTENIDO:
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

MATRICES EQUIVALENTES
RANGO DE UNA MATRIZ
INVERSA DE UNAMATRIZ
METODOS PARA OBTENER LA INVERSA DE UNA MATRIZ
CUESTIONARIO

3.1 MATRICES EQUIVALENTES
En esta sección se introduce la definición de matriz equivalente y enunciamos sus propiedades mas
importantes.
En esta sección veremos que cada una de las operaciones de filas puede realizarse
en A multiplicando A por la izquierda por una matriz obtenida al efectuar dicha
operación a la matriz identidad.Para este fin, definiremos una matriz elemental como cualquier matriz que se
obtenga a partir de la matriz identidad mediante una operación elemental de filas,
para lo cual utilizaremos el siguiente resultado.
Sea A una matriz de n x m. Supongamos que B se obtiene a partir de A mediante
una operación elemental de filas. Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar
las mismas operacioneselementales de filas en la matriz identidad. Entonces
B = EA. Esto es, la matriz elemental E obtenida a partir de la matriz identidad
mediante una operación elemental de filas realiza la misma operación elemental
en A al multiplicarla por la izquierda.
EJEMPLO 3.1.1
Dada la matriz A, verifique lo antes mencionado:
 2 4 2
 3 2 4 5 




a.- A   0 1 3  ; b.- A   0 3 8 3  .
 4 1 3 7
 3 4 2



SOLUCION
a.- Obtengamos B a partir de A intercambiando las filas f2 y f3:

110

RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ

 2 4 2


B   3 4 2
 0 1 3


Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener:
1 0 0


E  0 0 1
0 1 0


Ahora verificamos que E efectúa la misma operación de filas en A al multiplicar
por la izquierda a la matriz A por E:
 1 0 0  2 4 2   2 4 2 

 

EA =  0 0 1  0 1 3  =  3 4 2  = B .
 0 1 0  3 4 2   0 1 3 


 

b.- Multiplicamos la tercera fila de A por –2 para obtener B:
5 
 3 2 4


B 0 3 8
3 
 8 2 6 14 


Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener
1 0 0 


E  0 1 0 
 0 0 2 


Entonces
 1 0 0  -3 2 4 5   -3 2 4 5 


 

EA =  0 1 0  0 3 8 3  =  0 3 8 3  = B .
 0 0 -2  4 1 3 7   -8 -2 -6 -14 


 


EJEMPLO 3.1.2
Dada la matriz
 3 2 4 5 


A   0 3 8 3
 4 1 3 7


Multiplique la matriz A por la izquierda por un producto de matrices elementales.
SOLUCION
Intercambiamos las filas f2 y f3:
 3 2 4 5 


 4 1 3 7
 0 3 8 3


Multiplicamos la segunda fila por 3/4:
 3 2 4 5 

3
9
21 
3 4 4 4
 0 3 8 3


A la segunda filale sumamos la primera:
 3 2 4 5 

25
41 
B   0 11
4
4
4 
 0 3 8 3


Cada operación puede ser realizada mediante una matriz elemental:

JOE GARCIA ARCOS

RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ

111

1 0 0
1 0 0
1 0 0






3
,
,
E1   0 0 1  E2 =  0 4 0  E3   1 1 0 
0 1 0
0 0 1
0 0 1







Se forma
 1 0 0  1 0 0  1 0 0   1 0 0  1 0 0   1 0 0 


 

 

E3E2 E1 =  1 1 0  0 34 0  0 0 1    1 34 0  0 0 1    1 0 34 
 0 0 1  0 0 1  0 1 0   0 0 1  0 1 0   0 1 0 



 

 

Si se multiplica A por la izquierda por este producto de matrices elementales,
obtenemos el resultado final de las tres operaciones de filas:
 1 0 0  -3 2 4 5   -3 2 4 5 


 
25
41 
(E3E2 E1 )A =  1 0 34  0 3 8 3  =  011
=B. 
4
4
4 
 0 1 0  4 1 3 7   0 3 8 3 


 


Algunas veces necesitaremos efectuar una sucesión de operaciones de filas en una
matriz A. Esto puede hacerse multiplicando A por la izquierda por un producto de
matrices elementales.
DEFINICION 3.1.1
Se dice que la matriz A es equivalente por filas a la matriz B si B se
obtiene a partir de A mediante una sucesión de...