3eso Quincena7

7

Movimientos en el plano

Objetivos
En esta quincena aprenderás a:

•

Manejar el concepto de vector
como elemento direccional del
plano.

•

Reconocer los movimientos
principales en el plano:
traslaciones, giros y simetrías.

•

Aplicar uno o más
movimientos a una figura
geométrica.

•

Reconocer movimientos
geométricos en el arte, la
naturaleza, etc..

Antes de empezar
1.Vectores………………………………………… pág. 108
Concepto de vector. Coordenadas
Vectores equipolentes
Suma de vectores
2.Traslaciones ………………………………… pág. 110
Traslación según un vector
Composición de traslaciones
3.Giros ……………………………………………
Giro de centro O y ángulo α
Simetría central
Figuras invariantes de orden n

pág. 112

4.Simetría axial ……………………………… pág. 114
Simetría de eje e
Figuras con eje de simetría
Composición de simetrías axiales
Ejercicios parapracticar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS 3º ESO „

105

106

„ MATEMÁTICAS 3º ESO

Movimientos en el plano
Antes de empezar

En la naturaleza, el arte, en muchos objetos cotidianos, encontrarás
muestras de las formas geométricas que vas a estudiar aquí. Mira a tu
alrededor y observa.

Recuerda
En un sistema de ejes cartesianos cada punto seexpresa mediante dos coordenadas (x,y).
La primera o abscisa indica la posición sobre el eje
horizontal, positiva a la derecha del origen, negativa a la
izquierda. La segunda u ordenada la posición sobre el
eje vertical, positiva hacia arriba, negativa hacia abajo.

MATEMÁTICAS 3º ESO „

107

Movimientos en el plano
1. Vectores
Concepto de vector. Coordenadas
→

Un vector AB está determinado por dospuntos del
plano, A(x1,y1) que es su origen y B(x2,y2) que es su
extremo.
→

Las coordenadas de AB son las de B menos las de A:
→

AB =(x2 - x1 , y2 - y1).

Un vector tiene módulo, dirección y sentido:
• Módulo, es la distancia entre el origen y el
extremo,
• Dirección, es la recta que pasa por origen y
extremo o cualquier recta paralela a ella y
• Sentido es el que va desde el origen hacia elextremo y lo marca la flecha.

Para calcular el módulo basta utilizar el
Teorema de Pitágoras:
→

AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Vectores equipolentes
→

→

Dos vectores AB y CD se llaman equipolentes si
tienen el mismo módulo, la misma dirección y el
mismo sentido.
→

B
A
D

Observa que parece que el vector AB
se ha trasladado paralelamente a sí
mismo hasta ocupar la posición del
→

vector CD .
CABCD es un paralelogramo.

•

Dos vectores equipolentes son representantes del
mismo vector libre.

Suma de vectores

r
r
La suma de dos vectores, u y v , es otro vector,
r r
u + v , que podemos construir de dos formas:
r
r
• Situando los vectores ru ry v con origen en el
mismo punto. El vector u + v queda entonces sobre
la diagonal mayor del paralelogramo construido
sobre los vectores sumandos.r

•

Haciendo coincidir
el origen
del vector v con el
r
r r
extremo de u . El vector u + v tiene como origen el
r
r
origen de u y como extremo el de v .
r
r
En coordenadas, la suma de u =(u1,u2) y v =(v1,v2)
r r
es:
u + v =(u1+v1, u2+v2)

108

„ MATEMÁTICAS 3º ESO

La
importancia
de
los
vectores
equipolentes reside en que se pueden
trasladar a cualquier punto.

Movimientos en el plano
EJERCICIOSresueltos
1.

→

Las coordenadas del vector AB son las de B menos las de A. Calcula:
→

a) Las coordenadas del vector AB

AB = (4 − (−3),3 − (−1)) = (7,4)

2.

b) Las coordenadas del punto B.

Basta sumar a
las coordenadas
de A, las del
vector: B(-2,4)

Los triángulos amarillo y verde son iguales, ¿qué distancia hay entre los puntos
homólogos, A(-3,2) y B(1,5)?
La distancia entre A y B es elmódulo
del vector AB =(4,3)
Aplicando el Teorema de Pitágoras:

| AB |=

3.

42 + 32 = 25 = 5

Los vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas, dados el punto A(5,-2) y
el B(-1,1), ¿cuáles son las coordenadas del punto D?
El vector AB =(-1-5,1+2) = (-6,3)
El vector CD tiene las mismas
coordenadas.
Las del punto D son: (-1-6, 2+3)
D(-7,5)

4.

Suma en cada caso...