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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
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Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor
desconocido.
El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema
trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.
Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitasque transforman la
ecuación en una identidad.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes
propiedades:
Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.
Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.Ejercicios de autoaprendizaje:
1. Resolvemos algunas ecuaciones:
Procedimiento para resolver una ecuación de 1r grado:
• Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores. (Propiedad 2)
• Eliminar paréntesis. (Propiedad distributiva)
• Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a ⋅ x = b . (Propiedad 1).
• Despejar laincógnita. (Propiedad 2).
• Comprobar la solución.

a) 3(2x + 5 ) − 2(4 + 4 x ) = 7 lo primero que hacemos será las operaciones de los paréntesis
6 x + 15 − 8 − 8 x = 7 sumamos los términos en x y los términos independientes
− 2x + 7 = 7 transponemos los términos
− 2x = 7 − 7 ⇒ − 2x = 0 despejamos la incógnita ⇒ x = 0
Comprobación:
Al sustituir en la ecuación x = 0 , transforma la ecuación enidentidad:
3(2 ⋅ 0 + 5 ) − 2(4 + 4 ⋅ 0 ) = 7 ⇒ 3 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 = 7
9 − 2x
x+3
b) 4 −
= 2+
⇒ Multiplicamos ambas partes de la ecuación por el mínimo común
3
6
múltiplo de los denominadores
x +3⎞
9 − 2x ⎞
⎛
⎛
6 ⋅⎜4 −
⎟ ⇒
⎟ = 6 ⋅ ⎜2 +
6 ⎠
3 ⎠
⎝
⎝
24 − (x + 3 ) = 12 + 2(9 − 2x ) eliminamos los paréntesis
24 − x − 3 = 12 + 18 − 4 x ⇒ 21 − x = 30 − 4 x transponemos los términos
4 x − x = 30 − 21 ⇒ 3 x = 9despejamos la incógnita ⇒ x = 3
Comprobación:

4−

9 − 2⋅3
3+3
= 2+
3
6

⇒

4−

3
6
= 2+
3
6

2. ¿Son equivalentes las siguientes ecuaciones?
a) x + 5 = 8 y 7 x + 1 = 22
Tenemos que resolver cada una de ellas y mirar si tienen la misma solución.
Resolvemos la primera: x = 3
Resolvemos la segunda: 7 x = 21 ⇒ x = 3
Como tienen la misma solución son ecuaciones equivalentes.
b)

x + 3 = 4 y 8x + 8 = 8.Resolvemos la primera: x = 1
Resolvemos la segunda: 8 x = 0 ⇒ x = 0
Como no tienen la misma solución no son ecuaciones equivalentes.

3. Problemas resueltos:
Procedimiento para resolver problemas de ecuaciones:
• Definición de la incógnita
• Traducir al lenguaje algebraico el enunciado.
• Planteamiento de la ecuación.
• Resolución de la ecuación.
• Ver si el resultado de la ecuación es coherente
conel enunciado
a) Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número?
x = el número buscado. (definición de la incógnita)
x
Su quinta parte es
(transformación al lenguaje algebraico).
5
x
x + = 18 (es el planteamiento de la ecuación).
5
Resolvemos la ecuación: 5 x + x = 90

⇒ 6 x = 90 ⇒

x=

90
6

⇒

Entonces, x = 15
Notamos que al volver a leer el problema x = 15 es coherente con el enunciado,15 más 3 (su
quinta parte) son18.
b) Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?
y = número de ovejas que tenía.
Un tercio de las que tenía es

y
3

El planteamiento será una resta: y −

y
= 24
3

72
⇒ y = 36 ovejas.
2
Notamos que el resultado es un número natural coherente con el enunciado.

Resolvemos la ecuación: 3 y − y = 72

⇒ 2y = 72

⇒

y=

c) En una tienda, deun producto me rebajaron el 15% y pagué 51 €. ¿Cuánto costaba el
producto?
a = precio en € del producto.
15
a
El 15% de a es
100
Lo que costaba el producto menos la rebaja es lo que pagué:
15
a−
a = 51
100
85
51.100
Resolvemos:
a = 51 ⇒ a =
⇒ a = 60 €.
85
100
El resultado es coherente con el enunciado el 15% de 60€ son 9€, entonces pagué 51€
d) Regala 8 cromos y se queda con la mitad. ¿Cuántos...