4 UNIDAD



INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

ALUMNO:
ISMAEL EDUARDO ACOSTA HERNÁNDEZ


CUATRIMESTRE: 8° GRUPO: “B”


DOCENTE:
ING.MARCO ANTONIO ACOSTA PERALTA.

MATERIA:
Ecuaciones diferenciales aplicadas

UNIDAD
IV.- Transformada de Laplace




San Antonio Cárdenas, Carmen, Campeche a 14 de abril del 2015

índice
TRANSFORMADA DE LAPLACE 3
Propiedad de linealidad: 4
Propiedad delinealidad 5
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 9
Teoremas de traslación 11
Primer teorema de traslación 11
Segundo teorema de traslación 12
Conclusiones 19

























TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales,sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja , y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja . Si esa ecuación algebraica seresuelve en para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas parapredecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.

Propiedad de linealidad:
En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración transformanuna función en otra función; por ejemplo, la función f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones. Poligonales cúbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida:



Además, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes ,

[gggg
gg
Siempre y cuando exista cada derivada e integral.

Propiedad de linealidad
 de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a (alfa) y b (beta) constantes.

                                 
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE  S
PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este primer teoremade traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento
Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica deF(s) desplazada en el eje s por la cantidad  |a|  , tal como se muestra en la figúra 7.11.
Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:

Donde  S flecha S- a significa que latransformada de Laplace F(s) de f(t) el símbolo sse remplaza por s-a siempre que aparezca.   

USO DEL PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace.

SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente:


EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de una función existe si laintegral de Laplace converge. La integral ha de converger si es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango y si es de orden exponencial cuanto tiende a infinito. Se dice que una función es de orden exponencial, si existe una constante real, positiva tal que la función



tiende a cero cuanto tiene a infinito. Si el límite de la función



tiende a cero para...